Voir la source de Étude des systèmes électriques/Oscillations libres dans un circuit RLC

{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 3
  | précédent = [[../Bobine d'induction et circuit RL/]]
  | suivant   = [[../|Sommaire]]
  | niveau    = 13
}}

= Étude expérimentale =

== Circuit d'étude  ==

[[Fichier:RLC Charge Décharge.JPG|300px]]

== Observations ==

* Interrupteur en position 1 : charge du condensateur
* Interrupteur en position 2 : décharge

On observe des '''oscillations électriques amorties pseudo-périodiques'''. On note <math>T_0</math> la pseudo-période des oscillations.
<div style="text-align:center;">
[[Fichier:Oscillation amortie.svg|300px]]</div>

== Influence de R  ==
Si, en partant d’un régime pseudo-périodique, on augmente progressivement R, les oscillations s'amortissent de plus en plus vite. On observe également une augmentation de la pseudo-période. Lorsque la résistance atteint une valeur critique, il n'y a plus d'oscillations. Au dela de cette valeur critique, aucun comportement oscillant n'est observé

== Influence de L et C  ==

* Si on garde la même valeur de la capacité et qu'on augmente l'inductance de la bobine, <math>T_0</math> augmente.
* Si on garde la même valeur d'inductance et qu'on augmente la capacité du condensateur, <math>T_0</math> augmente également.

= Étude analytique d’un circuit oscillant =

[[Fichier:RLC Libre.JPG|right]]

'''On note :'''
* <math>C</math> la capacité du condensateur
* <math>R</math> la résistance du conducteur ohmique
* <math>L</math> l'inductance de la bobine
* <math>r</math> sa résistance interne

== Équation différentielle  ==

D'après la loi d'additivité des tensions,<br />
<math>u_{AM}+u_{MB}+u_{BA} = 0</math>

<math>u_C+Ri+ri+L\frac{di}{dt} = 0</math><br />
:or <math>i = \frac{dq}{dt} = \frac{d(Cu_C)}{dt} = C\frac{du_C}{dt}</math><br />
Donc <math>LC\frac{d^2u_C}{dt^2} +(R+r)C\frac{du_C}{dt}+ u_c = 0</math>

Où <math>\frac{d^2u_C}{dt^2}</math> est la dérivée seconde de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps. On la note aussi <math>\ddot{u_C}</math>, par extension de la notation <math>\dot{u_C} = \frac{du_C}{dt}</math>.<br />
Dans la suite, on étudie un cas particulier de circuit, sans résistance. Le terme dissipatif est donc négligé afin de simplifier la résolution de cette équation différentielle.

== Cas du circuit LC  ==

Un circuit LC est un circuit RLC sans résistance. Ce circuit est dit ''idéal'', puisqu’il ne peut être réalisé.<br />
L'équation différentielle se réduit donc à :<br />
<math>LC\frac{d^2u_C}{dt^2}+u_C = 0 \Leftrightarrow \frac{d^2u_C}{dt^2} = -\frac{1}{LC}u_C</math>

=== Solutions ===

La fonction mathématique dont la dérivée seconde est l'opposée d'elle-même à une constante près est la fonction cosinus.<br />
Les solutions sont donc de la forme <math>u_C = A\cos{(\omega_0t+\phi_0)}</math>, avec :
* <math>A</math> : amplitude (tension maximale, en Volts), notée parfois <math>u_m</math>
* <math>\omega_0</math> : pulsation (rad.s⁻¹)
* <math>\phi_0</math> : phase à l'origine
* <math>t</math> : le temps (en secondes)

On appelle <math>\omega_0t+\phi_0</math> la ''phase''.<br />
On a <math>\omega_0 > 0</math> et <math>A > 0</math>.

<math>A</math> et <math>\phi_0</math> ne dépendent que des conditions initiales, <math>\omega_0</math> dépend des grandeurs électriques du circuit.

=== Détermination de la pulsation  ===

On a <math>\frac{d^2u_C}{dt^2} = -\frac{u_C}{LC}</math>.<br />
Or <math>\frac{du_C}{dt} = -A\omega_0\sin{(\omega_0t+\phi_0)}</math><br />
Donc <math>\frac{d^2u_C}{dt^2} = -\omega_0^2A\cos{(\omega_0t+\phi_0)} = -\omega_0^2u_C</math>

D'où <math>\omega_0^2 = \frac{1}{LC} \Leftrightarrow \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}</math>


On a donc :{{Encadre|contenu=<math>u_C = A\cos{\left (\frac{t}{\sqrt{LC}}+\phi_0\right )}</math>}}

=== Détermination des autres constantes (A et phi)  ===


[[Fichier:Oscillographe LC.png|right|400px]]

* <math>A</math> va dépendre de la façon dont on a chargé le condensateur
* <math>\phi_0</math> va dépendre du choix de l'instant initial

'''On prend comme instant initial l'instant <math>t=0</math> où <math>u_C = E</math> et <math>i = 0</math>.'''<br />

Donc <math>u_C = E = A\cos{\phi_0}</math>, or <math>i=\frac{dq}{dt}=C\frac{du_C}{dt}</math><br />
D'où <math>i = -CA\omega_0\sin{(\omega_0t+\phi_0)}</math><br />
<math>i(0) = -CA\omega_0\sin{\phi_0} = 0 \Rightarrow \sin{\phi_0} = 0 \Rightarrow \phi_0 = 0\mbox{ ou }\pi</math>.<br />
Or comme <math>A > 0</math>, d’après <math>E = A\cos{\phi_0}</math>, <math>\phi_0 = 0</math> et <math>A = E</math>.

'''En prenant ces conditions initiales, l’expression de la tension aux bornes du condensateur est donc :'''{{Encadre|contenu=<math>u_C = E\cos{\left (\frac{t}{\sqrt{LC}}\right )}</math>}}

=== Relation entre la pulsation et la pseudo période  ===

On utilise <math>u_C = A\cos{(\omega_0t+\phi_0)}</math>. On sait qu'une fonction cosinus reprend la même valeur quand l'angle a augmenté de <math>2\pi</math> '''et aussi''' au bout d’une période.<br />
Donc <math>u_C = A\cos{(\omega_0(t+T_0)+\phi_0)} = A\cos{(\omega_0t+\phi_0+2\pi)}</math><br />
<math>\Leftrightarrow A\cos{(\omega_0t+\omega_0T_0+\phi_0)} = A\cos{(\omega_0t+2\pi+\phi_0)}</math><br />
<math>\Rightarrow \omega_0T_0 = 2\pi</math> d'où <math>T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{LC}</math>.<br />
<math>T_0</math> : période propre des oscillations libres d’un circuit LC

== Influence de la résistance du circuit  ==

* Si <math>R = 0</math>, le régime est '''périodique''' de période <math>T_0</math>
* Si la résistance est faible, le régime est '''pseudo périodique''' de période <math>T \simeq T_0</math>
* Si la résistance est importante, le régime est dit '''apériodique'''

== Interprétation énergétique  ==

=== Régime périodique (LC)  ===

<math>W_{circuit} = W_B+W_C = \frac{1}{2}Li^2+\frac{1}{2}Cu_C^2 = cste</math><br />
L'énergie passe sans perte du condensateur vers la bobine.<br />
'''Exemples :'''
* <math>t = 0, u_C = U_{max}, i = 0\, \Rightarrow W_{circuit} = \frac{1}{2}CU_{max}^2</math>
* <math>t = \frac{T}{4}, u_C = 0, i = -I_{max} \Rightarrow W_{circuit} = \frac{1}{2}LI_{max}^2</math>

=== Régime pseudo-périodique  ===

<math>W_{circuit} = \frac{1}{2}Li^2+\frac{1}{2}Cu_C^2 \neq cste</math> et <math>W_{circuit}</math> décroît.<br />
L'énergie est perdue par effet Joule dans les résistances (conducteur ohmique et résistance interne de la bobine).

=== Entretien des oscillations  ===

Un moyen pour entretenir les oscillations est de compenser la perte d'énergie par un apport extérieur (bien ajusté : au même rythme que les oscillations).<br />
Il existe un circuit, appelé '''Amplificateur opérationnel''' (ou ampli-op, AO…) qui est capable de donner de l'énergie à un circuit RLC. Monté convenablement, il peut se comporter comme une résistance négative.<br />

<gallery>
Image:RLC entretenu.png|Montage à AOP
Image:RLC entretenu équivalent.png|Circuit équivalent
Image:Op-amps.jpg|AOP en boîtier DIP8
Image:OPAMP Packages.jpg|Différents AOP
</gallery>

La partie encadrée en rouge du premier circuit permet de simuler une résistance négative. La tension aux bornes de ce système est alors <math>u_D = R_Di = -R_4 i</math>. L'équation différentielle du circuit est donc <math>u_C+(R+r+R_D)i+L\frac{di}{dt} =0</math><br />

Si on ne veut pas d'amortissement des oscillations, on doit avoir <math>0=R+r+R_D =R+r-R_4 </math>, ce qui revient à <math>R_4=R+r </math>, c'est-à-dire régler <math>R_4</math> à la même valeur que la somme des résistances présentes dans le circuit.<br />

Si on règle différemment <math>R_4 </math> on peut avoir :
* des oscillations toujours amorties si <math>R_D</math> n’est pas assez grande (en valeur absolue), c'est-à-dire si <math>R_4</math> est trop petite
* des oscillations non sinusoïdales si <math>R_D</math> est trop importante (en valeur absolue), c'est-à-dire si <math>R_4</math> est trop grande

En pratique, <math>R_4</math> doit être légèrement supérieure à la somme des résistances du circuit à cause de la résistance des fils conducteurs.

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