Voir la source de Étude des systèmes électriques/Bobine d'induction et circuit RL

{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | suivant   = [[../Oscillations libres dans un circuit RLC/]]
  | précédent = [[../Condensateur et circuit RC/]]
  | numéro    = 2
  | niveau    = 13
}}

''schéma d'un circuit RL''

== Présentation du composant  ==
[[Fichier:Inductors-photo.JPG|thumb|right|Exemples de bobines]]
[[Fichier:Symbole bobine.png|thumb|right|Symbole de la bobine dans un circuit]]

Dans le cas général, une bobine est un dipôle formé par l'enroulement d'un fil de cuivre, de façon plus ou moins cylindrique. Lorsqu'on soumet une bobine à une différence de potentiel constante U, on observe que l'intensité du circuit augmente progressivement jusqu'à atteindre l'intensité I fournie par le générateur. À présent si l’on coupe l'alimentation de ce circuit, l'intensité le parcourant n'atteint 0 qu'au bout d'un laps de temps, la bobine permet donc de ralentir l'installation ou la disparition de l'intensité dans un circuit.

=== Établissement du courant électrique dans une bobine  ===
Lorsqu'un courant électrique non constant traverse une bobine, celle-ci crée un champ magnétique qui s'oppose à la variation de l'intensité. Ainsi, lorsqu'on cherche à faire passer un courant d'intensité constante dans une bobine, celui-ci va progressivement ''s'établir'' au sein de la bobine : l'intensité passera progressivement de la valeur zéro à la valeur finale constante du courant électrique. C’est pour cela qu'on parle de ''l'établissement du courant dans une bobine'', de façon analogue à la ''charge d'un condensateur''. Une fois le courant établi, la bobine peut être considérée comme un fil puisque la différence de potentiel à ses bornes sera quasi-nulle.
<br />

=== Relation tension - intensité ; inductance  ===

''Cela peut paraître évident, mais d’après le paragraphe précédent, il est à noter qu'intensité et tension seront des grandeurs dépendant du temps, que nous noterons parfois u(t) et i(t) pour le marteler.''
<br />
Tout comme <math>U = R.i</math> pour un conducteur ohmique et <math>i = C. \frac{du}{dt}</math> pour un condensateur, il existe une relation entre l'intensité (i en ampères A) traversant une bobine et la tension (u en volts V) à ses bornes : 
<br />
{{Encadre|contenu=<math>u = L.\frac{di}{dt}</math>}}
<br />
où le coefficient constant (<math>L</math>) est appelé inductance de la bobine, qui s'exprime en henry (H).

== Réponse d'un circuit RL à un échelon de tension  ==

Dans le jargon des physiciens, un "circuit RL" est un circuit où se trouvent en série un générateur, une résistance R et une bobine d'inductance L. On appelle échelon de tension le passage brutal de la tension appliquée à l’ensemble {R + L} d'une valeur nulle à une valeur non nulle : on suppose qu’à t < 0, la tension du générateur est nulle et qu’à partir de t = 0 elle est égale à une constante E.

=== Équation différentielle  ===
<div align="right">Schéma 1</div>

* D'après la loi d'Ohm, on peut directement écrire que la tension aux bornes de la résistance est <math>Ri</math> pour ne pas ajouter de notations inutiles.
* D'après la loi d'additivité des tensions (ou loi des mailles), '''''E=UL + UR'''''
* À l'aide de la relation intensité tension du paragraphe précédent, on en déduit que <math>E = Ri + L\frac{di}{dt}</math>
''Équation différentielle du circuit RL :'' {{Encadre|contenu=<math>\frac{E}{L} = \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i</math>}}

=== Solution ===

La solution de cette équation différentielle est de la forme <math>i(t) = Ae^{-kt}+B</math><br />
* Au bout d'un temps infini, le courant a une intensité constante (on dit que le régime permanent est atteint) et la bobine peut être assimilée à un fil, ainsi la tension aux bornes de L est nulle et nous avons E = Ri, ce qu'on écrit : quand <math>t\rightarrow\infty , i = \frac{E}{R}</math> d'où <math>B = \frac{E}{R}</math>
* Comme '''i est une fonction continue du temps pour une bobine''', elle doit valoir zéro à t = 0 puisque le courant s'est établit progressivement, de zéro à E/R, ce qui nous permet de trouver que : <math>i(0) = 0 = A+B</math> d'où <math>A = -B = -\frac{E}{R}</math>
* Enfin, pour trouver k, il faut se servir de l'équation différentielle : puisque la forme proposée est solution de celle-ci, remplaçons i par son expression dans celle-ci, nous obtenons après calculs <math>k = \frac{R}{L}</math> car l'équation doit être valable pour toute valeur de ''t'', et notamment pour ''t = 0''.
* ''Solution de l'équation différentielle :''
intensité traversant une bobine en fonction du temps :<br />
{{Encadre|contenu=<math>i(t) = \frac{E}{R}(1-e^{-\frac{R.t}{L}})</math>.}}

== Constante de temps du circuit RL  ==

=== Définition et analyse dimensionnelle  ===

Puisque ce qui se trouve dans une exponentielle ne doit pas avoir de dimension, c’est que le quotient <sup><math>\frac{L}{R}</math></sup> a la dimension d'un temps. En effet :
<math>[\frac{L}{R}] = {\frac{[i]}{[u]}} \times {\frac{[u]\times T}{[i]}} = T </math>
Le quotient <math>\frac{L}{R}</math> est donc analogue à une durée qu'on appelle '''constante de temps''' et qu'on note : <math>\tau = \frac{L}{R}</math>. En unités internationales, <math>\tau</math> s'exprime en secondes.

=== Détermination de la constante de temps  ===
[[Fichier:Dertmination de tau.svg|right]]
* Tracer la courbe de l'intensité traversant la bobine en fonction du temps lors de son établissement.
* Tracer une droite d'ordonnée la valeur finale d'intensité (<math>i_{max}</math>).
* Tracer la tangente à la courbe en t = 0.
* Le point d'intersection des ces deux droites a pour abscisse <math>\tau</math> et à cette abscisse, l'ordonnée de la courbe vaut <math>\textstyle{(1-e^{-1}).E \approx 0,63.i_{max}}</math>
<br />

Au cours de l'établissement du courant dans une bobine :
* À <math>t = \tau</math>, <math>i = 0,63.i_{max}</math>
* À <math>t = 5\tau</math>, <math>i = 0,99.i_{max}</math> (le courant est quasiment établi)

La constante donne donc un ordre de grandeur de l'établissement du courant et nous pourrons retenir qu'''au bout de <math>5\tau</math> le courant est quasiment établi''. Le temps de charge d'un circuit RL peut donc être contrôlé en modifiant les valeurs de R et L.

== Énergie magnétique emmagasinée dans une bobine  ==

En convention récepteur, la puissance d'une bobine s'écrit :
<math> p(t) = u(t) \times i(t)</math>

Or, <math> u(t) = L \frac{di}{dt} </math>

On a donc <math> p(t) = i(t)\times L \frac{di}{dt} = \frac 12 \times L \times \frac{di^2}{dt}</math>

Comme la puissance est l'énergie par unité de temps : <math> \frac {dE}{dt} = p(t)</math>, on en déduit :

<math> E(t) = \frac 12 \times L \times i^2</math>;

L'expression de l'énergie dans une bobine dépend du temps. Sa formule est la suivante :

{{Encadre
  | contenu = 
<math>E_L = \frac{1}{2}L \times i^2 </math>
}}

== Inductance équivalente  ==
Il est possible de calculer l'inductance équivalente à celle de plusieurs bobines :

* En série : <math>L_1 + L_2 + ... + L_n = L_{eq}</math>
* En dérivation : <math>\frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + ... + \frac{1}{L_n} = \frac{1}{L_{eq}}</math>

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