Voir la source de Équation différentielle/Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b

{{Chapitre
  | idfaculté  = mathématiques
  | numéro     = 2
  | précédent  = [[../Définition/]]
  | suivant    = [[../Équation différentielle linéaire du premier ordre/]]
  | page_liée  = Exercices/Application en démographie
  | page_liée2 = Exercices/Charge d'un condensateur
  | page_liée3 = Exercices/Vitesse terminale en chute libre
  | page_liée4 = Exercices/Sujet de bac S
  | niveau     = 14
}}

Une équation différentielle relie une fonction à ses dérivées successives.

L'équation '''<math>y'=ay+b</math>''' avec '''<math>a</math>''' et '''<math>b</math>''' réels est parmi les plus simples mais aussi les plus importantes.

== Équation différentielle '''<math>y'=ay</math>''' ==
{{Théorème
  | contenu =
'''<math>a</math>''' désigne un réel non nul.

Les solutions de l'équation différentielle '''<math>y'=ay</math>''' sont les fonctions définies sur '''<math>\R</math>''' par : 

'''<math>y(x) = k\operatorname e^{ax}</math>''' 

où '''<math>k</math>''' est une constante réelle quelconque.
}}

{{Démonstration déroulante
  | contenu =
'''Démonstration avec les dérivées''' :

* Il suffit de dériver une telle fonction pour voir qu'elle est solution.
* Réciproquement, si on a une autre solution '''<math>g</math>''', on pose '''<math>\phi(x)=g(x)\operatorname e^{-ax}</math>'''
* En dérivant, on trouve que '''<math>\phi'(x)=0</math>''' donc '''<math>\phi</math>''' est constante et <math>g(x)</math> est de la forme annoncée.


'''Démonstration avec l'intégration''' :

* '''<math>y'=ay</math>''', donc '''<math>{y' \over y} = a</math>'''
* En intégrant des deux côtés, on obtient '''<math>\ln(y)=ax+b</math>''' 
* En passant à l'exponentielle : '''<math>y=e^{ax+b}</math>'''
* En posant '''<math>k=e^{b}</math>''', on retrouve '''<math>y(x) = ke^{ax}</math>'''
}}

== Solutions de l'équation différentielle '''<math>y'=ay+b</math>''' ==
{{Théorème
  | contenu =
Soient les réels '''<math>a</math>''' et '''<math>b</math>''' tels que '''<math>a\ne0</math>'''

Les solutions de l'équation différentielle '''<math>y'=ay+b </math>''' sont les fonctions définies sur '''<math>\R</math>''' par :

'''<math>y(x) = k\operatorname e^{ax}-\frac ba</math>'''

où '''<math>k</math>''' est une constante réelle quelconque.
}}

{{Démonstration déroulante
  | contenu =
'''Démonstration avec les dérivées''' :

* Il suffit de dériver une telle fonction pour voir qu'elle est solution.
* Réciproquement, si on a une autre solution '''<math>f</math>''', on pose '''<math>g(x)=f(x)+\frac ba</math>'''
* En dérivant, on trouve que '''<math>g</math>''' est solution de l'équation sans second membre et d’après le théorème précédent, elle se ramène à la forme annoncée.
}}

{{Exemple|titre=Exemples|contenu=
Résoudre les équations suivantes :

* '''<math>y' = y </math>'''
* '''<math>y' = -2y </math>'''
* '''<math>y' -2y =3</math>'''
* '''<math>5y' -2y =3</math>'''

{{Solution|contenu=
*'''<math>y' = y </math>''' admet pour ensemble-solution '''<math>S = \left\{  k\operatorname e^x\mid k \in \R \right\}</math>'''
*'''<math>y' = -2y </math>''' admet pour ensemble-solution '''<math>S = \left\{  k\operatorname e^{-2x}\mid k \in \R \right\}</math>'''
*'''<math>y' - 2y =3 </math>''' admet pour ensemble-solution '''<math>S = \left\{  k\operatorname e^{2x} - \frac32\mid k \in \R \right\}</math>'''
*'''<math>5y' - 2y =3\Leftrightarrow y' = \frac25y + \frac35</math>''' admet pour ensemble-solution '''<math>S = \left\{  k\operatorname e^{\frac25x} - \frac32\mid k \in \R \right\}</math>'''
}}
}}
== La condition initiale ==

Le fait de fixer une seule valeur de la fonction-solution suffit à la définir parfaitement.

Le sens physique de cette remarque est très intuitif : un système physique régi par une équation différentielle du premier ordre voit son état déterminé par un seul nombre <math>f(x)</math> qui dépend de la variable <math>x</math> (en général le temps). 

La connaissance de cet état à un instant donné (disons l'instant <math>x=0</math> par exemple) détermine l'état du système à tout instant. 

C'est ce qu'on appelle la ''condition initiale''.

{{Théorème
  | titre   =Cas particulier d'un théorème de [[Histoire des mathématiques/Quelques mathématiciens célèbres|Cauchy]]
  | contenu =
Deux nombres réels '''<math>x_0</math>''' et '''<math>y_0</math>''' étant donnés, il '''existe''' une '''unique''' solution '''<math>f</math>''' de l'équation '''<math>y'=ay+b</math>''' vérifiant '''<math>f(x_0) = y_0</math>'''.
}}

{{Démonstration déroulante
  | contenu =
La donnée de '''<math>x_0</math>''' et '''<math>y_0</math>''' suffit à fixer un unique '''<math>k</math>'''.
}}

{{Exemple|titre=Exemples|contenu=
Résoudre les équations suivantes :

* '''<math>y' = y,\quad y(0)=1</math>'''
* '''<math>y' = -2y,\quad y(1)=3</math>'''
* '''<math>y' -2y =3,\quad y(0)=3</math>'''
* '''<math>5y' -2y =3,\quad y(-2)=0</math>'''

{{Solution|contenu=
Avec les solutions précédemment trouvées :
*'''<math>y' = y </math>''' : la condition '''<math>y(0) = 1 </math>''' impose '''<math>k\operatorname e^0 = 1</math>''' c'est-à-dire '''<math>k = 1</math>''' d'où la solution unique '''<math> y =\operatorname e^x</math>'''
*'''<math>y' = -2y </math>''' : la condition '''<math>y(1) = 3 </math>''' impose '''<math>k\operatorname e^{-2} = 3</math>''' c'est-à-dire '''<math>k = 3e^2</math>''' d'où la solution unique '''<math> y = 3\operatorname e^{2(1-x)}</math>'''
*'''<math>y' - 2y =3 </math>''' : la condition '''<math>y(0) = 3 </math>''' impose '''<math>k\operatorname e^0 - \frac{3}{2} = 3</math>''' c'est-à-dire '''<math>k = \frac92</math>''', d'où la solution unique '''<math> y = \frac92\operatorname e^{2x} - \frac32</math>'''
*'''<math>5y' - 2y =3</math>''' : la condition '''<math>y(-2) = 0 </math>''' impose '''<math>k\operatorname e^{\frac{-4}5} - \frac32= 0</math>''' c'est-à-dire '''<math>k = \frac32\operatorname e^{\frac45}</math>''', d'où la solution unique '''<math> y = \frac32\left[\operatorname e^{\frac25(x+2)} - 1\right]</math>'''
}}
}}
{{Exemple|titre=Exemple en physique : vitesse terminale d'un objet|contenu=
Considérons un objet de masse '''<math>m</math>''' en chute libre.

Les forces en présence sont, en projection sur l'axe vertical orienté vers le bas :
* le poids : '''<math>P = ...</math>'''
* le frottement fluide '''<math>F</math>''' de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse '''<math>v</math>''' de l'objet
*:Le coefficient de frottement est noté '''<math>h</math>''', donc 
*:'''<math>F = ...</math>'''

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit : 
:'''<math>...=...</math>'''

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.

{{Solution
  | contenu =
* Le poids : '''<math>P = m\times g</math>'''
* Le frottement fluide  '''<math>F</math>''' de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse '''<math>v</math>''', le coefficient de frottement est noté '''<math>h</math>''', donc 
*:'''<math>F = -h\times v</math>'''

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit : 
:'''<math>mv' = -hv + mg </math>'''
}}

En supposant que l’objet est lâché sans vitesse initiale, l'objectif est de donner la solution '''<math>v(t)</math>''' exprimant la vitesse du corps en fonction du temps '''<math>t</math>'''.

Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :
:'''<math>...= 0</math>'''

La solution est de la forme :
:'''<math>v(t) = ...</math>'''

Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, c'est-à-dire '''<math>v(0) = ...</math>'''. 
Cela donne pour la solution générale : 
:'''<math>...=...</math>'''

La solution finale au problème est donc :
:'''<math>v(t)=...</math>'''

{{Solution
  | contenu =
Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :
:'''<math>v' + \frac hmv - g = 0</math>'''

La solution est de la forme :
:'''<math>v = Ae^{-\frac hmt} + \frac{gm}h</math>'''

Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, ce qui fixe le paramètre '''<math>A</math>''', qui doit alors vérifier :
:'''<math>0 = A + \frac{gm}h</math>'''

La solution finale au problème est donc :
:'''<math>v \left( t \right) = \frac{gm}h\left( 1 -\operatorname e^{-\frac hmt} \right)</math>'''
}}

Application numérique : tracer '''<math>v</math>''' en fonction de '''<math>t</math>''' pour '''<math>m=0{,}00416,h=3{,}4\times 10^{-6}, g=9{,}81</math>'''
}}

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