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{{Entête de fiche
  | idfaculté = mathématiques
  | nom       = les équations différentielles du premier ordre
}}

== Équations linéaires à coefficients variables et second membre variable  ==
Soit une équation linéaire du premier ordre définie de la façon la plus générale :

'''<math>a(x) y' + b(x) y = c(x)</math>'''

<u>Avec</u> : 

* '''<math>a(x), b(x), c(x)</math>''' : fonctions réelles (ces variables peuvent également être des nombres constants). Le terme <math>a(x)</math> doit toujours être différent de '''0'''.

* '''<math>y'</math>''' : dérivée première de la fonction <math>y</math>.
* '''<math>y</math>''' : fonction dont il faut trouver l'expression en prenant en compte tous les autres éléments de l'équation. Pour cela, chercher, exprimer et additionner les deux solutions (particulière et générale).


''Attention à la notation.<br />En effet, lorsqu'on travaille sur les équations différentielles, on indique souvent la fonction sans sa variable. Ainsi en écrivant '''<math>y</math>''', on sous-entend '''<math>y(x)</math>'''.''

=== Équation linéaire sans second membre ===
<u>L'équation linéaire sans second membre est définie par</u> : 

'''<math>ESSM(x) : a(x)y'+b(x)y=0</math>'''


<u>La solution générale de cette équation est définie par l'expression suivante</u> :

'''<math>Y_{ESSM} = Ke^{-\Phi(x)}</math>'''

<u>Avec</u> : 

* <math>K</math> : Constante (nombre réel)

*'''<math>\Phi(x)= \int \frac{b(x)}{a(x)}dx</math>'''

=== Équation linéaire avec second membre ===
<u>L'équation linéaire avec second membre est définie par</u> :

'''<math>(E) : a(x)y'+b(x)y=c(x)</math>'''


<u>Une solution particulière de cette équation est définie par l'expression suivante</u> :

'''<math>Y_{p} = g(x)e^{-\Phi(x)} </math>'''

<u>Avec</u> : 

*'''<math>g(x) = \int {c(x) \over a(x)} e^{\Phi(x)}dx </math>'''

=== Ensemble des solutions d'une équation différentielle du 1er ordre à coefficients et second membre variables ===
Une équation différentielle du 1er ordre à coefficients et second membre variables admet l'ensemble des solutions suivant : 

'''<math>\begin{align} y(x) & = Y_{ESSM}(x) + Y_{p}(x) \\ & = [K + g(x)]e^{-\Phi(x)} \\ \end{align} </math>'''