Voir la source de Électrostatique des conducteurs/Système de deux conducteurs en équilibre électrostatique

{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Conducteur en équilibre électrostatique/]]
  | suivant   = [[../Calculs classiques/]]
  | numéro    = 2
  | niveau    = 15
}}
__TOC__
{{Clr}}
== Théorème des éléments correspondants  ==
[[Fichier:Defaut.svg|thumb|right|Théorème des éléments correspondants]]
Soient deux conducteurs de l'espace S₁ et S₂ en équilibre électrostatique.

On considère un tube de champ de surface latérale ''Σ<sub>l</sub>'' reliant un élément de surface ''s₁'' de S₁ à un élément de surface ''s₂'' de S₂. ''s₁'' et ''s₂'' portent respectivement les charges ''q₁'' et ''q₂''. 

{{Définition
  | titre   = Éléments correspondants
  | contenu =
On dit de ''s₁'' et ''s₂'' que ce sont des '''éléments correspondants'''.}}


On imagine alors une surface ''Σ₁'' s'appuyant sur le contour de ''s₁'', mais incluse dans le conducteur S₁. De même, on pose ''Σ₂'' une surface s'appuyant sur le contour de ''s₂'' tout en étant incluse dans le conducteur S₂.


On note <math>\Sigma=\Sigma_l\cup\Sigma_1\cup\Sigma_2</math>. ''Σ'' est une surface fermée : on peut donc lui appliquer le théorème de Gauss :
<math>\frac{q_1+q_2}{\epsilon_0}
=\int_{\Sigma_1}\vec E\cdot\overrightarrow{{\rm d}S}+\int_{\Sigma_2}\vec E\cdot\overrightarrow{{\rm d}S}
+\int_{\Sigma_l}\vec E\cdot\overrightarrow{{\rm d}S}</math>

* À l'intérieur d'un conducteur en équilibre électrostatique, <math>\vec E=\vec0</math>, donc <math>\int_{\Sigma_1}\vec E\cdot\overrightarrow{{\rm d}S}=0</math> et <math>\int_{\Sigma_2}\vec E\cdot\overrightarrow{{\rm d}S}=0</math>.
* À la surface d'un tube de champ, le champ est tangentiel à la normale au tube de champ, donc <math>\int_{\Sigma_l}\vec E\cdot\overrightarrow{{\rm d}S}=0</math>

{{Encadre|contenu=On en déduit que ''q₂'' = -  ''q₁''.}}


{{Théorème
  | titre=Théorème des éléments correspondants|contenu=Deux éléments correspondants portent des charges opposées.}}

== Matrice de capacité  ==

Soient deux conducteurs de l'espace S₁ et S₂ en équilibre électrostatique, de surfaces respectives ''Σ₁'' et ''Σ₂''.

[[Fichier:Defaut.svg|450px]]

<math>Q_1=\iint_{\Sigma_1}\sigma(P)\,\mathrm d^2S</math>

<math>Q_2=\iint_{\Sigma_2}\sigma(P)\,\mathrm d^2S</math>

<math>V(M)=\iint_\Sigma \frac1{4\pi\epsilon_0}\frac{\sigma(P)\,\mathrm d^2S}{PM}</math>

<math>V(M_1)=\iint_\Sigma \frac1{4\pi\epsilon_0}\frac{\sigma(P)\,\mathrm d^2S}{PM_1}</math>

<math>V(M_2)=\iint_\Sigma \frac1{4\pi\epsilon_0}\frac{\sigma(P)\,\mathrm d^2S}{PM_2}</math>

Si <math>V(M_1)=0</math> et <math>V(M_2)=0</math>, <math>\forall M,V(M)=0</math> d'où <math>\vec E=-\vec\nabla V=\vec 0</math> donc <math>\vec E(P)=\vec 0=\frac{\sigma(P)}{\epsilon_0}</math><math>\sigma(P)=0</math>


<math>
\begin{pmatrix}
Q_1\\Q_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
C_{1,1}&C_{1,2}\\
C_{1,2}&C_{2,2} 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V_1\\V_2
\end{pmatrix}
</math>

* C<sub>i,i</sub> > 0 : Coefficients de capacité
* C<sub>i,j</sub> < 0 : Coefficients d'influence
* C symétrique
* C<sub>i,j</sub> : ne dépendent que de la géometrie des conducteurs

== Conducteurs en influence totale  ==

{{Définition
  | titre   = Influence totale
  | contenu =
Deux conducteurs sont en '''influence totale''' lorsque '''l'un entoure totalement l'autre'''. On dit donc que toutes les lignes de champs du premier conducteur se referment sur le deuxième.}}

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