Limites d'une fonction/Exercices/Lever une indétermination

Factoriser

1. f est la fonction définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ par pour tout $x,f(x)=x-2\sqrt{x}$.

a. Vérifier que l’on se trouve dans un cas d'indétermination quand x tend vers $+\mathrm{\infty }$.

b. Démontrer que pour tout réel $x>0$, $f(x)=x(1-\frac{2}{\sqrt{x}})$.

c. En déduire la limite de f en $+\mathrm{\infty }$.

2. g est la fonction définie sur $ℝ$ par :

pour tout $x,g(x)=\frac{e^{2x}-1}{2e^{2x}+e^{-x}}$.

a. Vérifier que l’on se trouve dans un cas d'indétermination quand x tend vers $+\mathrm{\infty }$.

b. Démontrer que pour tout réel x, $g(x)=\frac{1-e^{-2x}}{2+e^{-3x}}$.

c. En déduire la limite de f en $+\mathrm{\infty }$.

Utiliser l’expression conjuguée

g est la fonction définie sur $[1,+\mathrm{\infty }[$ par :

$g(x)=\sqrt{x^2+2}-\sqrt{x^2-x}$.

1. Vérifier que l’on se trouve dans un cas d'indétermination quand x tend vers $+\mathrm{\infty }$.
2. Multiplier et diviser $g(x)$ par son expression conjuguée $\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x^2-x}$.
3. Démontrer que pour tout réel $x\ge 1$ :

   $g(x)=\frac{1+\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}}$.

4. En déduire la limite de g en $+\mathrm{\infty }$.

Déterminer les limites en $+\mathrm{\infty }$ de :

1. $\sqrt{x^2+1}-(x+1)$ ;
2. $\sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt{x+1}$.

Simplifier

ƒ est la fonction définie sur $D=ℝ-\{\frac{1}{2};2\}$ par pour tout $x,f(x)=\frac{x^2-5x+6}{(x-2)(2x-1)}$.

1. Quelle est la limite en 2 de la fonction $x\mapsto x^2-5x+6$ ? Peut-on donner directement la limite de ƒ en 2 ?
2. Démontrer que pour tout réel x de D, $f(x)=\frac{x-3}{2x-1}$
3. En déduire la limite de ƒ en 2.

Reconnaître un taux de variation

g est la fonction définie sur ${ℝ}^{*}$ par pour tout $x,g(x)=\frac{\cos (x)-1}{x}$.

1. Donner la limite en 0 de chacune des fonctions $x\mapsto \cos (x)-1etx\mapsto x$.
2. Peut-on alors donner directement la limite de g en 0 ?
3. Reconnaître que l’expression de $g(x)$ est un taux de variation de la fonction cos. En déduire la limite de g en 0.

Règle simple de L'Hôpital

(Pour des généralisations à un niveau plus avancé, voir Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité#Théorèmes sur la dérivation.)

1. Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $[a,b[$ et dérivables en $a$. Démontrer que si $f(a)=g(a)=0$ et $g^{\prime }(a)\ne 0$, alors $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(a)}{g^{\prime }(a)}$.
2. Appliquer cette règle pour calculer $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x^2+3x}$ et $\underset{x\to \frac{\pi }{3}}{\lim }\frac{\sin (x-\frac{\pi }{3})}{1-2\cos x}$.