Voir la source de Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini

{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques/]]
  | suivant   = [[../Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus/]]
}}

== Observation du phénomène de diffraction en optique ==

=== Rappel des fréquences lumineuses dans le domaine visible, longueurs d'onde associées dans le vide ===

{{Al|5}}Le domaine du visible en fréquence étant <math>\;f_{\text{rouge}} = 390\; THz < f < f_{\text{violet}} = 790\; THz\;</math><ref> <math>\;1\; THz = 10^{12}\; Hz\;</math> lire « térahertz ».</ref> et la lumière étant une onde électromagnétique de célérité dans le vide <math>\;c \simeq 3\, 10^8\; m\! \cdot\! s^{-1}</math>, on en déduit de domaine des longueurs d'onde dans le vide grâce à <math>\;\lambda_0 = \dfrac{c}{f}\;</math><ref> On ajoute l'indice <math>\;{}_0\;</math> pour distinguer la longueur d'onde dans le vide de la longueur d'onde dans le milieu transparent.</ref> soit : <div style="text-align: center;">«<math>\;\lambda_{0,\, \text{violet}} = 0,380\; \mu m < \lambda_0 < \lambda_{0,\, \text{rouge}} = 0,780\; \mu m\;</math>»<ref> Quelques autres longueurs d'onde dans le vide peuvent être retenues en lien avec la couleur observée : <br>{{Al|3}}«<math>\;\lambda_{0,\, \text{bleu}} \in \left[ 0,435\; \mu m\, ;\, 0,465\; \mu m \right]\;</math>», «<math>\;\lambda_{0,\, \text{vert}} \in \left[ 0,500\; \mu m\, ;\, 0,560\; \mu m \right]\;</math>», «<math>\;\lambda_{0,\, \text{jaune}} \in \left[ 0,560\; \mu m\, ;\, 0,590\; \mu m \right]\;</math>» et «<math>\;\lambda_{0,\, \text{rouge}} \in \left[ 0,620\; \mu m\, ;\, 0,780\; \mu m \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>partant du rouge moyen à <math>\;620\; nm</math>, passant par le rouge primaire à <math>\;700\; nm\;</math> et allant jusqu'au rouge extrême à <math>\;780\; nm\big)</math>.</ref>.</div>
=== Introduction aux phénomènes de diffraction par limitation d'un faisceau lumineux ===

{{Al|5}}Une source lumineuse ponctuelle émet en « espace libre » <ref> C.-à-d. sans limite ni obstacle.</ref> une onde progressive se propageant dans toutes les directions <math>\;\big(</math>milieu tridimensionnel<math>\big)</math> ; mais pratiquement jamais une expérience n'est entièrement réalisée en espace libre car <u>tous les dispositifs pratiques introduisent des limitations de l'expansion spatiale des ondes</u>, ce sont par exemple :
* les sources entourées d'une enveloppe, percée d'un orifice par lequel sort l'onde,
* les instruments permettant d'analyser l'onde <math>\;\big(</math>capteur ou œil<math>\big)\;</math> et ne collectant qu'une partie de la lumière,
* les éléments optiques rencontrés par la lumière entre les sources et les capteurs et qui n'ont qu'une expansion finie ;
{{Al|5}}le fait de limiter l'expansion d'une onde lumineuse peut en modifier les propriétés, cette modification éventuelle correspond au phénomène de diffraction.

=== Diffraction à l'infini ===

{{Al|5}}La cause dominante de limitation de l'expansion spatiale des ondes lumineuses est la présence d'un <u>diaphragme de faible diamètre</u><ref> On parle de « diaphragme » pour une ouverture à bord circulaire.</ref> ou d'une <u>fente de faible largeur</u> ; une observation à grande distance du diaphragme ou de la fente est estimée faite à l'infini et, si on observe un phénomène de diffraction, on parlera de « diffraction à l'infini » ;

[[File:Diffraction - fente fine.jpg|thumb|550px|Dispositif expérimental de diffraction d'un laser par une fente fine, franges observées]]

{{Al|5}}un faisceau laser émettant une onde lumineuse progressive « quasi unidimensionnelle » <ref> La source est considérée comme étant à l'infini, ce qui se manifeste par une expansion de l'onde émise par le faisceau laser quasi cylindrique de diamètre de l'ordre de quelques <math>\;mm\;</math> d'où le qualificatif « quasi unidimensionnelle ».</ref> et monochromatique <ref> C.-à-d. n'émettant qu'une seule fréquence correspondant à une seule longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0</math>.</ref>, on place sur le trajet de l'onde une fente de largeur <math>\;a\;</math> réglable et on observe l'impact laissé par l'onde sur un écran placé à grande distance <math>\;D</math> ;

{{Al|5}}alors qu'on s'attendait à voir une tache lumineuse de même largeur que la fente <math>\;\big(</math>trajet de la lumière en {{Nobr|pointillés<math>\big)</math>,}} on observe un étalement de la lumière sur l'écran suivant la direction parallèle à la largeur de la fente, étalement d'autant plus grand que la largeur de la fente est petite avec une répartition non uniforme : « présence d'une tache centrale très lumineuse » entourées de « taches beaucoup moins lumineuses et deux fois moins larges » <ref> La fente ayant une dimension « sa longueur » grande devant l'autre dimension « sa largeur », la limitation de l'expansion spatiale de l'onde n'intervient que sur la largeur de la fente et on remarque que la dispersion de l'énergie lumineuse se fait dans la direction de l'écran <math>\;\parallel\;</math> à cette largeur, dans la direction de l'écran <math>\;\parallel\;</math> à la longueur la propagation reste unidirectionnelle.</ref> ; 

{{Al|5}}le phénomène qui apparaît dans cette expérience est la <u>diffraction</u>, celle-ci n'apparaît nettement qu'en-deçà d'une largeur de fente de <math>\;0,100\; mm</math> ;

{{Al|5}}<u>quelques valeurs numériques</u> : avec un faisceau laser de longueur d'onde à vide <math>\;\lambda_0 = 0,633\; \mu m\;</math><ref name="Laser"> Laser « hélium – néon » très utilisé dans les expériences d'optique.</ref> et des largeurs de fente de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}0,300\; mm\\0,200\; mm\\0,100\; mm\end{array} \right\rbrace</math>, l'écran étant situé à une distance <math>\;D = 1,80\; m\;</math> de la fente, on observe une largeur de tache centrale approximativement égale à <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}4,0\; mm\\5,5\; mm\\11,5\; mm\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="Largeurs des taches"> Ces largeurs sont sous-estimées car la tache centrale n'étant pas uniforme l'intensité décroît du centre brillant jusqu'aux bords sombres, théoriquement la largeur doit aller jusqu'aux bords sombres mais ici la largeur estimée s'arrête approximativement à mi-chemin, il s'agit en fait d'une « largeur à mi-intensité ».</ref>{{,}}<ref> Avec <math>\;a = 0,1\; mm</math>, la diffraction commence à être observable, la largeur de la tache centrale étant de <math>\;1,2\; cm</math> ; on remarque que plus la fente est étroite, plus le phénomène de diffraction est prononcé.</ref>.

=== Diffraction par un diaphragme, tache d'Airy ===

[[File:Tache Airy.png|thumb|300px|<center>Figure de diffraction par un diaphragme de petit diamètre</center>]]

{{Al|5}}On remplace la fente par une ouverture circulaire de diamètre <math>\;a\;</math> et celle-ci ayant une symétrie de révolution d'axe « la direction du faisceau laser », <br>{{Al|5}}on observe sur l'écran une figure de diffraction ayant cette même symétrie de révolution, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|on observe sur l'écran }}un disque central très lumineux <math>\;\big(</math>appelé « <u>tache d'Airy</u><ref name="Airy"> '''[[w:George_Biddell_Airy|George Biddell Airy]] (1801 - 1892)''' mathématicien, astronome, [[w:Géodésie|géodésien]] et physicien britannique à qui on doit, entre autres, une théorie des [[w:Arc_en_ciel|arcs-en-ciel]], de nombreuses mesures pendulaires permettant de mesurer la masse de la Terre et la constante de gravitation universelle, ainsi que l'utilisation, dans ses calculs d'optique, de [[w:Fonction_spéciale|fonctions spéciales]] mathématiques particulières [[w:Fonction_d'Airy|portant son nom]] pour lui rendre hommage.</ref> »<math>\big)\;</math> entouré d'anneaux nettement moins lumineux et plus étroits que le disque central <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> ;

{{Al|5}}<u>quelques valeurs numériques</u> : avec le faisceau laser précédent de longueur d'onde à vide <math>\;\lambda_0 = 0,633\; \mu m\;</math><ref name="Laser" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|quelques valeurs numériques : avec }}des diamètres de diaphragme de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}0,300\; mm\\0,200\; mm\\0,100\; mm\end{array} \right\rbrace</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|quelques valeurs numériques : }}l'écran étant situé à une distance <math>\;D = 1,80\; m\;</math> de la fente, <br>{{Al|5}}{{Transparent|quelques valeurs numériques : }}on observe respectivement, avec les diamètres <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}0,300\; mm\\0,200\; mm\\0,100\; mm\end{array} \right\rbrace\;</math> précédents, <br>{{Al|5}}{{Transparent|quelques valeurs numériques : on observe }}un diamètre de tache d'Airy<ref name="Airy" /> approximativement égal à <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}5,0\; mm\\6,5\; mm\\14,0\; mm\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="Largeurs des taches" />{{,}}<ref> Avec <math>\;a = 0,1\; mm</math>, la diffraction commence à être observable, la largeur de la tache centrale étant de <math>\;1,4\; cm</math> ; on remarque que plus le diaphragme est petit, plus le phénomène de diffraction est prononcé, celui-ci étant encore plus contrasté qu'avec une fente.</ref>.

=== Diffraction par un voilage ===

[[File:Diffraction ouverture carree.png|thumb|300px|<center>Diffraction par un voilage de maille carrée</center>]]

{{Al|5}}La lumière arrivant sur un endroit précis du voilage, seule une petite partie de ce dernier est utilisée pour le phénomène de diffraction, l'endroit utilisé du voilage se comportant alors comme une fente rectangulaire ; <br>{{Al|5}}on observe une diffraction par la largeur <math>\;a\;</math> et la longueur <math>\;b\;</math> fournissant une tache centrale brillante de largeur <math>\;L_a\;</math> et de longueur <math>\;L_b\;</math> d'autant plus grande respectivement que <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> sont petits et des taches secondaires plus sombres sur les deux axes de la tache centrale ;

{{Al|5}}Ci-contre la figure de diffraction d'un voilage à maille carrée.

=== Dimension du trou pour observer le phénomène de diffraction à l'infini ===

{{Proposition|titre=À retenir|contenu ={{Al|5}}On observe le phénomène de diffraction à l'infini par une ouverture plane <br>{{Al|5}}{{Transparent|On observe le phénomène de diffraction à l'infini }}dès lors que « la dimension de celle-ci suivant une direction de son plan <br>{{Al|5}}{{Transparent|On observe le phénomène de diffraction à l'infini dès lors que « la dimension de celle-ci }}est approximativement <math>\;\lesssim 100\; \lambda_0\;</math>»<ref> Sur l'exemple <math>\;100\; \lambda_0 = 0,063\; mm\;</math> et le phénomène de diffraction est observable pour <math>\;a = 0,1\; mm</math>, on a donc bien l'ordre de grandeur.</ref>.}}
== Observation du phénomène de diffraction en mécanique ==

{{Al|5}}Le phénomène de diffraction peut être observé sur tous les types d'ondes et en particulier les ondes mécaniques : 

[[File:Wave Diffraction 4Lambda Slit.png|thumb|300px|<center>Diffraction sur une cuve à ondes, la largeur de la fente étant <math>\;4\;</math> fois la longueur d'onde</center>]]
* les ondes acoustiques dans l'air dont la célérité de propagation est <math>\;c = 340\; m\! \cdot\! s^{-1}\;</math> ont des longueurs d'onde de l'échelle « macroscopique »<ref> Une longueur <math>\;\mathcal{L}\;</math> est dite à l'échelle macroscopique si <math>\;\mathcal{L} \gtrsim 1\; mm\;</math> <math>\big\{</math>notion déjà entrevue en note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Exemples_de_signaux,_spectre#cite_note-28|<sup>28</sup>]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref> {{Nobr|<math>\;\Big\{</math>en}} effet une voix d'homme <math>\;\big(</math>respectivement de femme<math>\big)\;</math> ayant une fréquence moyenne <math>\;f_{\text{moy},\, H} = 125\; Hz\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;f_{\text{moy},\, F} = 250\; Hz\big)\;</math> correspond à une longueur d'onde <math>\;\lambda_{\text{moy},\, H} = \dfrac{340}{125} \simeq 2,7\; m\;</math> <math>\Big(</math>respectivement <math>\;\lambda_{\text{moy},\, F} = \dfrac{340}{250} \simeq 1,35\; m\Big)\!\Big\}</math>, <br>{{Transparent|les ondes acoustiques dans l'air }}la diffraction intervient dès que « la limitation de l'expansion spatiale est <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;200\; m\;</math> pour une voix d'homme » <br>{{Al|36}}{{Transparent|les ondes acoustiques dans l'air la diffraction intervient dès que }}<math>\;\big(</math>respectivement <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;100\; m\;</math> pour une voix de femme<math>\big)</math>, <br>{{Transparent|les ondes acoustiques dans l'air la diffraction intervient }}c.-à-d. quand l'onde sonore associée rencontre une porte ouverte de largeur <math>\;0,80\; m\;</math><ref> Ainsi deux personnes, dans deux pièces voisines séparées par une porte ouverte, n'ont pas besoin d'être alignées avec la porte pour entendre ce qu'elles disent <math>\;\big(</math>ce qui devrait pourtant être le cas si la propagation du son dans l'air à travers l'ouverture d'une porte était purement rectiligne<math>\big)</math>.</ref> ;
* les ondes de vibration sur la surface d'eau de la cuve à ondes sont également sensibles au phénomène de diffraction, voir la figure ci-contre : <br>{{Transparent|les ondes de vibration sur la surface d'eau de la cuve à ondes }}la « fente » y est de largeur approximative <math>\;4\;</math> fois la « longueur d'onde » <ref> On observe la valeur de cette dernière au niveau de l'écartement des rides.</ref> et <br>{{Transparent|les ondes de vibration sur la surface d'eau de la cuve à ondes }}le phénomène de diffraction y est assez nettement observable.

== Lien (admis) entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction ==

=== Expression du lien entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction ===

{{Al|5}}Le lien expérimental observé précise l'échelle angulaire de diffraction <math>\;\theta_1\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la « demi-largeur angulaire » <ref name="fente remplacée par un diaphragme"> Dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, le phénomène de diffraction a la symétrie de révolution et la tache centrale est un disque ; <br>{{Al|20}}{{Transparent|Dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, }}l'échelle angulaire de diffraction est alors le <u>demi-angle d'ouverture de l'expansion correspondant à la tache centrale</u>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, l'échelle angulaire de diffraction est alors }}appelé « <u>rayon angulaire de la tache centrale</u> ».</ref> de la tache centrale<math>\big)\;</math> en fonction de la longueur d'onde <math>\;\lambda\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le lien expérimental observé précise l'échelle angulaire de diffraction <math>\;\color{transparent}{\theta_1}\;</math> <math>\color{transparent}{\big(}</math>c.-à-d. la « demi-largeur angulaire » de la tache centrale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> en fonction }}de la largeur de la fente <math>\;a\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le lien expérimental observé précise l'échelle angulaire de diffraction <math>\;\color{transparent}{\theta_1}\;</math> }}«<math>\;\theta_1 \simeq \arcsin\! \left( \dfrac{\lambda}{a} \right)\;</math>»<ref name="admis"> Résultat admis.</ref> ; 

{{Al|5}}dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, la taille de l'ouverture qui intervient est le diamètre du diaphragme <math>\;\big(</math>encore noté <math>\;a\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, }}le rayon angulaire de tache centrale <math>\;\big(</math>appelée « tache d'Airy »<ref name="Airy"/><math>\big)\;</math> est <math>\;\theta_1\;</math> tel que «<math>\;\theta_1 \simeq \arcsin\! \left( 1,22\; \dfrac{\lambda}{a} \right)\;</math>»<ref name="admis" /> ; 

{{Al|5}}on remarque que <math>\;\theta_1\;</math> acquiert une valeur observable dès lors que <math>\; a\; \cancel{\gg}\; \lambda\;</math><ref> Par exemple pour une largeur de fente (resp. un diamètre de diaphragme) tel(le) que <math>\;a \lesssim 10\, \lambda</math> on trouve <math>\;\theta_1 \gtrsim \left\lbrace \begin{array}{l}0,1\; rad \simeq 6 \text{° avec fente}\\0,122\; rad \simeq 7 \text{° avec diaphr.}\end{array} \right.</math> soit, à une distance de <math>\;D = 0,20\; m\;</math> une largeur (ou diamètre) de tache centrale <math>= 2\, D\, \theta_1 \gtrsim \left\lbrace \begin{array}{l}4,0\; cm\; \text{avec fente}\\4,9\; cm\; \text{avec diaphr.}\end{array} \right.\;</math> ne passant pas inaperçu(e) à condition toutefois que la répartition de lumière ne soit pas trop faible (sinon, seul le centre de la tache étant visible, la tache centrale apparaîtra moins large).</ref>.

=== Allure de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par une fente, en fonction de l'angle d'observation ===

{{Al|5}}La fonction intervenant dans le tracé de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par une fente de largeur <math>\;a\;</math> dans la direction repérée par l'angle <math>\;\theta\;</math><ref name="définition de l'angle d'observation"> Angle que fait la direction de propagation relativement à la normale au plan de la fente.</ref> est la valeur absolue du « <u>sinus cardinal</u> » <math>\;\bigg\{</math>« sinus cardinal » définie selon «<math>\;\mathrm{sinc}(x) = \dfrac{\sin(x)}{x}\;</math>»<ref> Forme indéterminée en <math>\;x = 0\;</math> prolongée par continuité donnant c.-à-d. <math>\;\mathrm{sinc}(0) = 1</math>.</ref><math>\bigg\}\;</math> de la variable <math>\;\dfrac{\pi\;a\;\sin(\theta)}{\lambda}\;</math> soit «<math>\;A(\theta) = a_0\; \left\vert\, \mathrm{sinc}\! \left[ \dfrac{\pi\;a\;\sin(\theta)}{\lambda} \right] \right\vert\;</math>» dans laquelle <math>\;a_0\;</math> est l'amplitude de l'onde incidente sur la fente <math>\;\big(</math>O.P.P.<ref name="O.P.P."> Onde Plane Progressive.</ref> suivant la direction <math>\;\perp\;</math> à la fente<math>\big)</math>, voir diagramme ci-dessous :
[[File:Diffraction - fente - amplitude.jpg|thumb|center|620px|<center>Graphe de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par une fente en fonction de l'angle <math>\;\theta\;</math> d'observation<ref name="définition de l'angle d'observation" />, <br>en fait, le graphe représenté est celui de <math>\;\dfrac{A(\theta)}{a_0}\;</math> en fonction de l'angle <math>\;\theta\;</math> d'observation<ref name="définition de l'angle d'observation" /></center>]]

{{Encart| largeur = mince|
contenu = [[File:Sinus cardinal.jpg|thumb|450px|<center>Graphe de la fonction sinus cardinal</center>]]
{{Al|5}}<u>additif mathématique</u><ref name="additif mathématique"> Cet additif n'est pas placé dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » car il n'est pas exigible à ce niveau ; il est simplement fourni pour une meilleure compréhension.</ref> : La fonction « sinus cardinal <math>\;\mathrm{sinc}(x) = \dfrac{\sin(x)}{x}\;</math>» est « définie et continue sur <math>\;\mathbb{R}^{*}</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : }}on prolonge sa définition en <math>\;x = 0\;</math> par continuité selon «<math>\;\mathrm{sinc}(0) = 1\;</math>»<ref> En effet quand <math>\;x \ll 1\;</math> <math>\big(x</math> étant en radian<math>\big)\;</math> son sinus peut être confondu avec sa valeur <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> soit <math>\;\sin(x) \sim x \Leftrightarrow \dfrac{\sin(x)}{x} \sim 1\;</math> dont on déduit <math>\;\lim\limits_{x \rightarrow 0} \left[ \mathrm{sinc}(x) \right] = 1</math>.</ref> et ainsi <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : on prolonge }}« son domaine de définition et continuité devient <math>\;\mathbb{R}\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : }}« son domaine de dérivabilité <math>\;\mathbb{R}^{*}\;</math> est prolongé par continuité en <math>\;\mathbb{R}\;</math>», en effet pour <math>\;x \neq 0\;</math> sa dérivée valant <math>\;\dfrac{d \left[ \mathrm{sinc} \right]}{dx}(x) = \dfrac{x\, \cos(x) - \sin(x)}{x^2}\;</math> présente une forme indéterminée en <math>\;x = 0\;</math> pour laquelle sa levée conduit à une limite nulle d'où le prolongement par continuité de sa définition <math>\;\dfrac{d \left[ \mathrm{sinc} \right]}{dx}(0) = 0\;</math><ref> Forme indéterminée de la dérivée en <math>\;x = 0</math> : <br>{{Al|3}}une 1<sup>ère</sup> tentative quand <math>\;x \ll 1\;</math> <math>\big(x</math> étant en radian<math>\big)\;</math> consistant à écrire les équivalences élémentaires suivantes <math>\;\sin(x) \sim x\;</math> et <math>\;\cos(x) \sim 1\;</math> <math>\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> conduirait à «<math>\;\dfrac{d \left[ \mathrm{sinc} \right]}{dx}(x) = \dfrac{x\, \cos(x) - \sin(x)}{x^2} \sim \dfrac{x \times 1 - x}{x^2} = \dfrac{0}{x^2}\;</math>» ne levant pas l'indétermination d'où la nécessité de ne pas se contenter de l'équivalence <math>\;\cos(x) \sim 1</math> ; <br>{{Al|3}}une 2<sup>ème</sup> tentative plus fine utilisant la formule de trigonométrie <math>\;\cos(x) = 1 - 2\, \sin^2\! \left( \dfrac{x}{2} \right)\;</math> de façon à prendre l'équivalence <math>\;\sin\! \left( \dfrac{x}{2} \right) \sim \dfrac{x}{2}\;</math> d'où l'approximation quand <math>\;x \ll 1</math>, de <math>\;\cos(x) \simeq</math> <math>1 - 2\, \left( \dfrac{x}{2} \right)^{\!2}\;</math> soit <math>\;\cos(x) \simeq 1 - \dfrac{x^2}{2}\;</math> <math>\big[</math>ceci définit le développement limité de <math>\;\cos(x)\;</math> au voisinage de <math>\;0\;</math> à l'ordre deux introduit plus finement au chap.<math>14</math> dans la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l.27ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|DL à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture de la dérivée quand <math>\;x \ll 1</math>, <math>\;\dfrac{d \left[ \mathrm{sinc} \right]}{dx}(x) = \dfrac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2} \simeq</math> <math>\dfrac{x \left[ 1 - \dfrac{x^2}{2} \right] - x}{x^2} = \dfrac{-x}{2}\;</math> et par suite <math>\;\lim\limits_{x \rightarrow 0} \left[ \dfrac{d \left( \mathrm{sinc} \right)}{dx}(x) \right] = 0\;</math> valeur donnée à la dérivée en prolongeant sa définition par continuité.</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : on prolonge }}enfin pour terminer notons les propriétés suivantes :
<br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : on prolonge }}<math>\;\succ\;</math>la fonction est paire, 
<br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : on prolonge }}<math>\;\succ\;</math>elle s'annule pour les valeurs <math>\;x_p \neq 0\;</math> annulant <math>\;\sin(x_p)\;</math> c.-à-d. <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : on prolonge <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>elle s'annule }}pour <math>\;x_p = p\, \pi,\; p \in \mathbb{Z}^{*}</math>, 
<br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : on prolonge }}<math>\;\succ\;</math>elle a un maximum principal en <math>\;x_0 = 0\;</math> de valeur <math>\;1\;</math> et 
<br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : on prolonge }}<math>\;\succ\;</math>{{Transparent|elle a }}des extrema secondaires en <math>\;x_m\;</math> définis par «<math>\;x_m\; \cos(x_m) = \sin(x_m)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : on prolonge <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>elle a des extrema secondaires en <math>\;\color{transparent}{x_m}\;</math> définis par «<math>\;\color{transparent}{x_m\; \cos(x_m)}</math> }}<math>\Updownarrow</math> <br>{{Al|18}}{{Transparent|additif mathématique : on prolonge <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>elle a des extrema secondaires en <math>\;\color{transparent}{x_m}\;</math> définis par }}«<math>\;\tan(x_m) = x_m\;</math>» <math>\ldots</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : }}Voir tracé du graphe de sinus cardinal ci-contre.}}

=== Allure de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme, en fonction de l'angle d'observation ===

{{Al|5}}La fonction intervenant dans le tracé de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme de diamètre <math>\;a\;</math> dans la direction repérée par l'angle <math>\;\theta\;</math><ref name="définition de l'angle d'observation - bis"> Angle que fait la direction de propagation relativement à l'axe du diaphragme.</ref> est définie à partir de la « fonction de {{Nobr|Bessel<ref name="Bessel"> '''[[w:Friedrich_Wilhelm_Bessel|Friedrich Wilhelm Bessel]] (1784 - 1846)''' astronome, mathématicien, [[w:Géodésie|géodésien]] et physicien allemand, essentiellement connu pour avoir effectué, en <math>\;1838</math>, les 1<sup>ères</sup> mesures précises de la distance d'une étoile et pour avoir introduit, dans la résolution des problèmes de [[w:Mécanique_céleste|mécanique céleste]] faisant intervenir la [[w:Théorie_des_perturbations|théorie des perturbations]], les [[w:Fonction_de_Bessel|fonctions mathématiques dites de Bessel]], solutions d'[[w:Équation_différentielle|équations différentielles]] particulières.</ref>}} de 1<sup>ère</sup> espèce <math>\;J_1(x)\;</math>»<ref name="Niveau"> Dont l'introduction sort largement du niveau de cette leçon mais dont il vous sera donné néanmoins quelques éléments <math>\;\big(</math>non indispensables à consulter pour comprendre la leçon<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref name="définition de la fonction de Bessel de 1ère espèce"> Voir l'additif de ce paragraphe ci-après.</ref> de la variable <math>\;\dfrac{a\;\sin(\theta)}{\lambda}\;</math> soit «<math>\;A(\theta) = a_0\, \left\lbrace 2\; \left\vert\, \dfrac{J_1\! \left[ \pi\, \dfrac{a\;\sin(\theta)}{\lambda} \right]}{\pi\, \dfrac{a\;\sin(\theta)}{\lambda}} \right\vert \right\rbrace\;</math>»<ref name="Niveau" /> dans laquelle <math>\;a_0\;</math> est l'amplitude de l'onde incidente sur le diaphragme {{Nobr|<math>\;\big(</math>O.P.P.<ref name="O.P.P." />}} suivant la direction <math>\;\parallel\;</math> à l'axe du diaphragme<math>\big)</math>, voir diagramme ci-dessous :

[[File:Diffraction - diaphragme - amplitude.jpg|thumb|center|620px|<center>Graphe de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme <math>\;A(\theta)\;</math> en fonction de l'angle <math>\;\theta\;</math> d'observation<ref name="définition de l'angle d'observation - bis" /> plus exactement, <br>graphe de <math>\;\dfrac{A(\theta)}{a_0}\;</math> en fonction de l'angle <math>\;\theta\;</math> d'observation<ref name="définition de l'angle d'observation - bis" /></center>]]

{{Encart| largeur = mince|
contenu = [[File:Bessel J0, J1.png|thumb|600px|<center>Fonctions de Bessel<ref name="Bessel" /> de 1<sup>ère</sup> espèce <math>\;J_0(x)\;</math> en rouge et <math>\;J_1(x)\;</math> en vert</center>]]
{{Al|5}}<u>additif mathématique</u><ref name="additif mathématique" /> : Les fonctions de Bessel<ref name="Bessel" /> de 1<sup>ère</sup> espèce <math>\;J_n(x),\; n \in \mathbb{N}\;</math> peuvent être définies :
* sous forme intégrale «<math>\;J_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] d \tau\;</math>»<ref> Forme sous laquelle '''[[w:Friedrich_Wilhelm_Bessel|F. W. Bessel]]''' les a d'abord définies.</ref> soit, pour les deux 1<sup>ères</sup> fonctions «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} J_0(x) = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ x\, \sin(\tau) \right] d \tau\\J_1(x) = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ \tau - x\, \sin(\tau) \right] d \tau \end{array} \right\rbrace\;</math>» ou
* sous forme de solution particulière de l'équation différentielle du 2<sup>ème</sup> ordre en <math>\;y(x)\;</math> non linéaire et homogène «<math>\;x^2\, \dfrac{d^2 y}{dx^2}(x) + x\, \dfrac{dy}{dx}(x) + \left[ x^2 - n^2 \right] y(x) = 0\;</math>»<ref> '''[[w:Friedrich_Wilhelm_Bessel|F. W. Bessel]]''' a établi que les fonctions qu'il avait définies sous forme intégrale vérifiaient cette équation différentielle <math>\;\bigg\{</math>un calcul de dérivée 1<sup>ère</sup> et 2<sup>nde</sup> par rapport à <math>\;x\;</math> de <math>\;J_n(x) =</math> <math>\dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] d \tau\;</math> suivi de leur remplacement dans le 1<sup>er</sup> membre de l'équation différentielle et d'une intégration par parties <math>\;\big(</math>i.p.p.<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Développement_de_quelques_méthodes_de_calcul|développement de quelques méthodes de calcul]] (exposé de la méthode d'intégration par parties ou i.p.p.) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> conduit à un résultat nul<math>\bigg\}</math> <math>\ldots</math> d'où la 2<sup>nde</sup> façon de définir les fonctions de Bessel de 1<sup>ère</sup> espèce.</ref>, <math>\;\big(</math>les C.I.<ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> restant à préciser suivant la valeur de <math>n\big)\;</math> ainsi <br>{{Al|5}}«<math>\;J_1(x)\;</math> est définie comme la solution particulière avec <math>\;J_1(0) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d J_1}{dx}(0) = \dfrac{1}{2}\;</math> comme C.I.<ref name="C.I." /> de l'équation <math>\;x^2\, \dfrac{d^2 y}{dx^2}(x) + x\, \dfrac{dy}{dx}(x) + \left[ x^2 - 1 \right] y(x) = 0\;</math>» alors que <br>{{Al|5}}«<math>\;J_0(x)\;</math> est la solution particulière avec <math>\;J_0(0) = 1\;</math> et <math>\;\dfrac{d J_0}{dx}(0) = 0\;</math> comme C.I.<ref name="C.I." /> de l'équation <math>\;x^2\, \dfrac{d^2 y}{dx^2}(x) + x\, \dfrac{dy}{dx}(x) + x^2\, y(x) = 0\;</math>».}}
{{Preuve|titre={{Al|15}}Preuve : 2<sup>ème</sup> définition déduite de la 1<sup>ère</sup> définition |contenu={{Al|5}}De <math>\;J_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] d \tau\;</math> on tire <br>{{Al|5}}<math>\;\dfrac{d J_n}{dx}(x) = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \sin\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \sin(\tau) d \tau\;</math> puis <br>{{Al|5}}<math>\;\dfrac{d^2 J_n}{dx^2}(x) = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi -\cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \sin^2(\tau) d \tau\;</math> et <br>{{Al|5}}on forme le 1<sup>er</sup> membre de l'équation différentielle «<math>\;A_n =</math> <math>x^2\, \dfrac{d^2 J_n}{dx^2}(x) + x\, \dfrac{d J_n}{dx}(x) + \left[ x^2 - n^2 \right] J_n(x)\;</math>» afin de vérifier qu'il vaut <math>\;0</math>, le report des expressions intégrales conduisant à «<math>\;A_n =</math> <math>\dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \left[ -x^2\, \sin^2(\tau) + x^2 - n^2 \right] d \tau + \cdots</math> <math>\cdots\, \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \sin\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] x\, \sin(\tau) d \tau = A_{n,\, 1} + A_{n,\, 2}\;</math>» soit, en simplifiant l'« intégrande »<ref name="intégrande"> C.-à-d. la fonction à intégrer <math>\;\big(</math>le substantif « intégrande » étant masculin<math>\big)</math>.</ref> de la 1<sup>ère</sup> intégrale <math>\;A_{n,\, 1}\;</math> par utilisation de <math>\;-x^2\, \sin^2(\tau) + x^2 = x^2\, \cos^2(\tau)\;</math> d'où <math>\;A_{n,\, 1} =</math> <math>\dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \left[ x^2\, \cos^2(\tau) - n^2 \right] d \tau\;</math> et, en transformant la 2<sup>nde</sup> <math>\;A_{n,\, 2}\;</math> par intégration par parties <math>\;\big(</math>i.p.p.<math>\big)\;</math><ref name="i.p.p."> Cette méthode qui sera vue en détail dans le cours de mathématiques est exposée très succinctement dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Développement_de_quelques_méthodes_de_calcul|développement de quelques méthodes de calcul]] (exposé de la méthode d'intégration par parties ou i.p.p.) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\displaystyle\int_a^b u\, dv = \left[ u\, v \right]_a^b - \displaystyle\int_a^b v\, du\;</math> avec <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}u = \sin\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right]\\dv = x\, \sin(\tau) d \tau\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}du = \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right]\, \left\lbrace n - x\, \cos(\tau) \right\rbrace d \tau\\v = -x\, \cos(\tau)\end{array}\right\rbrace\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;\pi\, A_{n,\, 2}</math>}} <math>= \cancel{\left[ \sin\! \left\lbrace n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right\rbrace \left\lbrace -x\, \cos(\tau) \right\rbrace \right]_0^\pi} - \cdots</math> <math>\cdots\;\displaystyle\int_0^\pi \left[ -x\, \cos(\tau) \right] \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right]\, \left\lbrace n - x\, \cos(\tau) \right\rbrace d \tau =</math> <math>\displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right]\, \left[ n\, x\, \cos(\tau) - x^2\, \cos^2(\tau) \right] d \tau\;</math>» soit, en regroupant avec la 1<sup>ère</sup> intégrale <math>\;A_{n,\, 1}\;</math> qui est telle que <math>\;\pi\;A_{n,\, 1} =</math> <math>\displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \left[ x^2\, \cos^2(\tau) - n^2 \right] d \tau</math>, on trouve «<math>\;\pi\;A_n</math> <math>= -n\; \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \left[ n - x\, \cos(\tau) \right] d \tau\;</math>» dont on termine l'intégration par changement de variable <math>\;\tau' = n\, \tau - x\, \sin(\tau)\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;A_n</math>}} <math>= -n\, \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] d\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] =</math> <math>-\dfrac{n}{\pi} \cancel{\left[ \sin\! \left\lbrace n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right\rbrace \right]_0^\pi} = 0\;</math>» C.Q.F.V.<ref> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref>.}}
{{Encart| largeur = mince|
contenu ={{Al|5}}<u>additif mathématique</u> <math>\;\big(</math>fin<math>\big)\;</math><ref name="additif mathématique" /> : Pour terminer le tour d'horizon, quelques relations de récurrence «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} J_{n + 1}(x) = \dfrac{n\, J_n(x)}{x} - \dfrac{d J_n}{dx}(x)\\J_{n + 1}(x) + J_{n - 1}(x) = \dfrac{2\, n}{x}\, J_n(x)\\J_{n + 1}(x) - J_{n - 1}(x) = -2\, \dfrac{d J_n}{dx}(x)\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[w:Fonction de Bessel#Propriétés des Jn|propriétés des J<sub>n</sub>]] de l'article [[w:Fonction de Bessel|Fonction de Bessel]] » de wikipédia.</ref> permettant de déduire <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fin<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : Pour terminer le tour d'horizon, }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} J_1(x) = - \dfrac{d J_0}{dx}(x)\\ \dfrac{d}{dx} \left[ x^n\, J_n(x) \right] = x^n\, J_{n - 1}(x)\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> La 1<sup>ère</sup> relation «<math>\;J_1(x) = - \dfrac{d J_0}{dx}(x)\;</math>» est un cas particulier de la 1<sup>ère</sup> relation de récurrence «<math>\;J_{n + 1}(x) = \dfrac{n\, J_n(x)}{x} - \dfrac{d J_n}{dx}(x)\;</math>» écrite pour <math>\;n = 0</math> ; <br>{{Al|3}}la 2<sup>ème</sup> relation «<math>\;\dfrac{d}{dx} \left[ x^n\, J_n(x) \right] = x^n\, J_{n - 1}(x)\;</math>» s'obtient en otant la 3<sup>ème</sup> relation de récurrence «<math>\;J_{n + 1}(x) - J_{n - 1}(x) = -2\, \dfrac{d J_n}{dx}(x)\;</math>» de la 2<sup>ème</sup> «<math>\;J_{n + 1}(x) + J_{n - 1}(x) = \dfrac{2\, n}{x}\, J_n(x)\;</math>» d'où «<math>\;2\, J_{n - 1}(x) = \dfrac{2\, n}{x}\, J_n(x) + 2\, \dfrac{d J_n}{dx}(x)\;</math>» ou «<math>\;J_{n - 1}(x) = \dfrac{n}{x}\, J_n(x) + \dfrac{d J_n}{dx}(x)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;x^n\, J_{n - 1}(x) = n\,x^{n - 1}\, J_n(x) + x^n\,\dfrac{d J_n}{dx}(x)\;</math>», ce dernier membre étant égal à «<math>\;\dfrac{d}{dx} \left[ x^n\, J_n(x) \right]\;</math>» d'où la relation souhaitée «<math>\;x^n\, J_{n - 1}(x) = \dfrac{d}{dx} \left[ x^n\, J_n(x) \right]\;</math>».</ref> et en particulier «<math>\;\dfrac{d \left[ x\, J_1 \right]}{dx}(x) = x\, J_0(x)\;</math>» en faisant <math>\;n = 1\;</math> dans la 2<sup>ème</sup> relation <br>{{Al|14}}{{Transparent|additif mathématique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fin<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : Pour terminer le tour d'horizon, «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \dfrac{d}{dx} \left[ x^n\, J_n(x) \right] = x^n\, J_{n - 1}(x) \right\rbrace}\;</math>» et en particulier «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \left[ x\, J_1 \right]}{dx}(x)}</math> }}<math>\Updownarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fin<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : Pour terminer le tour d'horizon, «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{l} J_1(x) = - \dfrac{d J_0}{dx}(x)\\ \dfrac{d}{dx} \left[ x^n\, J_n(x) \right] = x^n\, J_{n - 1}(x)\end{array}\right\rbrace}\;</math>» et en particulier }}«<math>\;J_1(x) + x\, \dfrac{d J_1}{dx}(x) = x\, J_0(x)\;</math>» dont on tire <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fin<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : Pour terminer le tour d'horizon, }}l'expression de la dérivée 1<sup>ère</sup> de <math>\;J_1(x)</math>, soit «<math>\;\dfrac{d J_1}{dx}(x) = J_0(x) - \dfrac{J_1(x)}{x}\;</math>» <math>\ldots</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fin<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : Pour terminer le tour d'horizon, }}Voir le graphe des deux fonctions de Bessel<ref name="Bessel" /> <math>\;J_0\;</math> et <math>\;J_1\;</math> ci-dessus à droite.}}
{{Preuve|titre={{Al|15}}Preuve de la 1<sup>ère</sup> relation de récurrence |contenu={{Al|5}}De la définition de la fonction de Bessel<ref name="Bessel" /> de 1<sup>ère</sup> espèce sous forme intégrale «<math>\;J_{n + 1}(x) = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ (n + 1)\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] d \tau</math> <math>= \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left\lbrace \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] + \tau \right\rbrace d \tau\;</math>» on tire <math>\;\pi\, J_{n + 1}(x) =</math> <math>\displaystyle\int_0^\pi \left\lbrace \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \cos(\tau) - \sin\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \sin(\tau) \right\rbrace d \tau\;</math> par formule trigonométrique d'addition<ref name="formule trigonométrique d'addition"> C.-à-d. «<math>\;\cos(a + b) = \cos(a)\,\cos(b) - \sin(a)\,\sin(b)\;</math>».</ref> soit, l'intégrale d'une somme d'« intégrandes »<ref name="intégrande" /> étant la somme des intégrales de chacun des « intégrandes »<ref name="intégrande" /> <math>\;\big\{</math>dans la mesure de l'existence de chacune<math>\big\}</math>, {{Nobr|«<math>\;\pi\, J_{n + 1}(x)</math>}} <math>= \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \cos(\tau) \, d \tau - \cdots</math> <math>\cdots \, \displaystyle\int_0^\pi \sin\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \sin(\tau) d \tau\;</math>» dans laquelle la 2<sup>ème</sup> intégrale est <math>\;\pi\;</math> fois la dérivée de <math>\;J_n(x)\;</math> par rapport à <math>\;x\;</math> car <math>\;J_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] d \tau</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\dfrac{d J_n}{dx}(x) =</math> <math>\dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \sin\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \sin(\tau) d \tau</math> ; pour évaluer la 1<sup>ère</sup> intégrale <math>\;I_1 = \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \cos(\tau) d \tau\;</math> on la transforme en remarquant que <math>\;\cos(\tau) = \dfrac{\left[ n - x\, \cos(\tau) \right] - n}{-x}\;</math> soit <math>\;I_1 =</math> <math>\dfrac{-1}{x}\, \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \left\lbrace \left[ n - x\, \cos(\tau) \right] - n \right\rbrace\, d \tau\;</math> d'où <math>\;x\,I_1</math> <math>= - \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \left [ n - x\, \cos(\tau) \right] d \tau + \cdots</math> <math>\cdots\,n\, \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] d \tau\;</math> de façon à faire apparaître dans la 1<sup>ère</sup> intégrale la forme <math>\;\cos\! \left[ g(\tau)\right] g'(\tau) d \tau\;</math> admettant <math>\;\sin\! \left[ g(\tau)\right]\;</math> comme primitive d'où <math>\;x\,I_1 = - \cancel{\left[ \sin\! \left\lbrace n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right\rbrace \right]_0^\pi} + \cdots</math> <math>\cdots\, n\, \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] d \tau</math>, la dernière intégrale s'identifiant à <math>\;n\, \pi\, J_n(x)\;</math> d'où «<math>\;\pi\, J_{n + 1}(x) = \dfrac{n\, \pi\, J_n(x)}{x} - \pi\,\dfrac{d J_n}{dx}(x)\;</math>» ; on a donc établi la 1<sup>ère</sup> relation de récurrence<ref> Les autres se démontrant de façon analogue.</ref> à savoir «<math>\;J_{n + 1}(x) =</math> <math>\dfrac{n\, J_n(x)}{x} - \dfrac{d J_n}{dx}(x)\;</math>».}}
{{Al|5}}L'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme de diamètre <math>\;a\;</math> dans la direction repérée par l'angle <math>\;\theta\;</math> d'observation<ref name="définition de l'angle d'observation - bis" /> s'écrivant «<math>\;A(u) = a_0\, \left\lbrace 2\; \left\vert \dfrac{J_1(\pi\, u)}{\pi\, u} \right\vert \right\rbrace\;</math><ref name="Niveau" /> avec <math>\;u = \dfrac{a\, \sin(\theta)}{\lambda}\;</math> variable sans dimension »<ref name="abus d'écriture en physique"> Bien que la fonction donnant l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme de diamètre <math>\;a\;</math> relativement à l'angle <math>\;\theta\;</math> d'observation et celle donnant l'amplitude de la même onde diffractée à l'infini par un même diaphragme de diamètre <math>\;a\;</math> relativement à la variable <math>\;u = \dfrac{a\, \sin(\theta)}{\lambda}\;</math> sont mathématiquement différentes et devraient être notées différemment selon les critères mathématiques, elles ont les mêmes images pour une même état de diffraction, on les note donc par la même lettre <math>\;A\;</math> selon l'usage fait <math>\;\big(</math>par abus<math>\big)\;</math> en physique.</ref> est une forme indéterminée en <math>\;x = \pi\, u = 0\;</math> car <math>\;J_1(x) = 0</math> ; on lève l'indétermination par <math>\;J_1(x) + x\, \dfrac{d J_1}{dx}(x) = x\, J_0(x)\;</math><ref> Voir le sous paragraphe « additif mathématique <math>\;\big(</math>fin<math>\big)\;</math>» plus haut dans ce paragraphe.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{J_1(x)}{x} = J_0(x) - \dfrac{d J_1}{dx}(x)\;</math>» et par suite <math>\;\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{J_1(x)}{x} = J_0(0) - \dfrac{d J_1}{dx}(0) = 1 - \dfrac{1}{2}\;</math><ref> Voir le sous paragraphe « additif mathématique » plus haut dans ce paragraphe.</ref> soit «<math>\;\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{J_1(x)}{x} = \dfrac{1}{2}\;</math>» d'où la « valeur <math>\;\dfrac{1}{2}\;</math> pour <math>\;\dfrac{J_1(x)}{x}\;</math> en <math>\;x = 0\;</math><ref> On ne peut évidemment pas écrire ce prolongement <math>\;\cancel{\dfrac{J_1(0)}{0}} = \dfrac{1}{2}</math>, la seule façon de l'écrire étant <math>\;\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{J_1(x)}{x} = \dfrac{1}{2}</math>.</ref>, en prolongeant sa définition par continuité » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\lim\limits_{u \rightarrow 0} 2\;\dfrac{J_1(\pi\, u)}{\pi\, u} = 1\;</math>» d'où l'« amplitude de l'onde incidente sur le diaphragme <math>\;a_0\;</math>» est aussi l'« amplitude de l'onde diffractée à l'infini par le diaphragme de diamètre <math>\;a\;</math> dans la direction repérée par l'angle d'observation<ref name="définition de l'angle d'observation - bis" /> <math>\;\theta = 0\;</math>» {{Nobr|c.-à-d.}} l'amplitude au centre de la tache d'Airy<ref name="Airy" /> <math>\;\big(</math>correspondant à la valeur maximale d'amplitude<math>\big)</math>.

=== Comparaison sur un même diagramme de l'allure de l'amplitude des ondes diffractées à l'infini par une fente et un diaphragme de même dimension, en fonction de l'angle d'observation ===

[[File:Diffraction - fente ou diaphragme - amplitude.jpg|thumb|center|450px|<center>Graphes comparés de l'amplitude des ondes diffractées à l'infini <math>\;A(\theta)\;</math> par <br>une fente <math>\;\big(</math>graphe en traits continus rouges<math>\big)\;</math> ou <br>un diaphragme de même dimension <math>\;\big(</math>graphe en tiretés bleus<math>\big)\;</math> <br>en fonction de l'angle <math>\;\theta\;</math> d'observation<ref name="définition de l'angle d'observation - ter"> Défini, plus haut dans ce chapitre, par la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#cite_note-définition_de_l'angle_d'observation-21|<sup>21</sup>]] » dans le cas de la diffraction par une fente et par la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#cite_note-définition_de_l'angle_d'observation_-_bis-27|<sup>27</sup>]] » dans le cas de la diffraction par un diaphragme.</ref> plus exactement, <br>graphes comparés de <math>\;\dfrac{A(\theta)}{a_0}\;</math> <math>\big\{</math>avec <math>\;a_0\;</math> amplitude de l'onde incidente<ref name="a0"> Amplitude de l'onde incidente sur la fente ou le diaphragme <math>\;\big\{</math>l'onde incidente étant une O.P.P. <math>\;\big(</math>Onde Plane Progressive<math>\big)\;</math> suivant la direction <math>\;\perp\;</math> à la fente ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe du {{Nobr|diaphragme<math>\big\}</math>.}}</ref><math>\big\}</math></center>]]

{{Al|5}}Lors de la superposition du graphe donnant l'allure de l'amplitude des ondes diffractées à l'infini par une fente de largeur <math>\;a\;</math> en fonction de l'angle <math>\;\theta\;</math> d'observation<ref name="définition de l'angle d'observation" /> <math>\;\big(</math>graphe en traits continus rouges sur le diagramme ci-dessus<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Lors de la superposition }}du graphe donnant l'allure de l'amplitude des ondes diffractées à l'infini par un diaphragme de diamètre <math>\;a\;</math> en fonction de l'angle <math>\;\theta\;</math> d'observation<ref name="définition de l'angle d'observation - bis" /> <math>\;\big(</math>graphe en tiretés bleus sur le diagramme ci-dessus<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Lors de la superposition }}on remarque que : 
* l'« amplitude des ondes diffractées à l'infini dans la direction centrale<ref name="direction centrale"> C.-à-d. la direction de propagation de l'onde incidente avant diffraction <math>\;\big\{</math>l'onde incidente étant une O.P.P. <math>\;\big(</math>Onde Plane Progressive<math>\big)\;</math> suivant la direction <math>\;\perp\;</math> à la fente ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe du {{Nobr|diaphragme<math>\big\}\;</math>}} <math>\Rightarrow</math> la direction centrale est donc <math>\;\perp\;</math> à la fente ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe du diaphragme.</ref> » est égale à l'amplitude <math>\;a_0\;</math> de l'onde incidente<ref name="a0" />, que la diffraction se fasse par une fente ou un diaphragme<ref> On en déduit aussi que la puissance diffractée à l'infini dans la direction centrale <math>\;\big(</math>qui est <math>\;\propto\;</math> au carré de l'amplitude dans la même direction<math>\big)\;</math> est égale à la puissance de l'onde incidente <math>\;\big\{</math>l'onde incidente étant une O.P.P. <math>\;\big(</math>Onde Plane Progressive<math>\big)\;</math> suivant la direction <math>\;\perp\;</math> à la fente ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe du diaphragme<math>\big\}</math>.</ref>,
* la demi-largeur angulaire<ref name="fente remplacée par un diaphragme" /> de la tache centrale dans le cas de la diffraction par une fente «<math>\;\theta_{1,\,\text{fente}} \simeq \arcsin\! \left( \dfrac{\lambda}{a} \right)\;</math>»<ref name="admis" /> est « légèrement plus petite » que le rayon angulaire de la « tache d'Airy<ref name="Airy" /> » dans le cas de la diffraction par un diaphragme de diamètre égale à la largeur de la fente «<math>\;\theta_{1,\,\text{diaph.}} \simeq \arcsin\! \left( 1,22\; \dfrac{\lambda}{a} \right)\;</math>»<ref name="admis" /> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Expression_du_lien_entre_la_taille_de_l'ouverture,_la_longueur_d'onde_et_l'échelle_angulaire_du_phénomène_de_diffraction|expression du lien entra la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, le cœfficient multiplicateur de <math>\;1,22\;</math> est approximativement dans un rapport de <math>\;5\;</math> pour <math>\;4</math>, et enfin,
* le contraste entre le disque central « disque d'Airy<ref name="Airy" /> » et le 1<sup>er</sup> anneau dans le cas de la diffraction par un diaphragme est « plus marqué » que celui entre la tache centrale et les 1<sup>ères</sup> taches dans le cas de la diffraction par une fente<ref> Le contraste observé est encore plus marqué dans la mesure où notre œil est sensible à la puissance diffractée et non à l'amplitude, la puissance étant <math>\;\propto\;</math> au carré de l'amplitude ; <br>{{Al|3}}le rapport entre l'amplitude maximale de la 1<sup>ère</sup> tache de diffraction et celle de la tache centrale étant <math>\;0,2\;</math> dans le cas de la diffraction par une fente, la puissance diffractée correspondant à la 1<sup>ère</sup> tache est approximativement <math>\;4\, \%\;</math> de celle diffractée associée à la tache centrale alors que <br>{{Al|3}}le rapport entre l'amplitude maximale du disque d'Airy et celle du 1<sup>er</sup> anneau est <math>\;0,13\;</math> dans le cas de la diffraction par un diaphragme, la puissance diffractée correspondant au 1<sup>er</sup> anneau n'est alors qu'approximativement <math>\;1,7\, \%\;</math> de celle diffractée associée à la tache d'Airy <math>\;\big(</math>soit un rapport deux fois et demi plus faible que dans le cas de la diffraction par une fente<math>\big)</math>.</ref>.

=== Principe de Huygens Fresnel et tentative d'explication du phénomène de diffraction ===

<div style="text-align: center;">Donné à titre de complément.</div>
==== Hypothèse de Huygens (1678) ====

{{Al|5}}Chaque point <math>\;M\;</math> d'une surface d'onde <math>\;\Sigma\;</math><ref name="surface d'onde"> Surface « équiphase » c.-à-d. telle que ses points ont mis le même temps de parcours depuis la source.</ref> créée à partir d'une source ponctuelle <math>\;S\;</math> peut être considéré à son tour comme une source ponctuelle secondaire <math>\;M_S\;</math> émettant des « ondelettes » dans toutes les directions, ces ondelettes secondaires interférant entre elles de telle sorte que toute nouvelle surface d'onde<ref name="surface d'onde" /> d'origine <math>\;\Sigma'\;</math><ref> C.-à-d. toute surface d'onde correspondant à des points atteints postérieurement à la surface d'onde d'origine.</ref> soit l'« enveloppe »<ref name="enveloppe"> L'enveloppe d'une famille de surfaces est une surface qui est tangente à toutes les surfaces de la famille ; <br>{{Al|3}}par exemple l'enveloppe d'une famille de sphères de même rayon, centrées sur l'axe <math>\;z'z\;</math> est le cylindre de révolution d'axe <math>\;z'z\;</math> et de même rayon que les sphères, la courbe de contact de chaque sphère avec  l'enveloppe de la famille étant le cercle dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;z'z\;</math> de même centre et même rayon que la sphère ; <br>{{Al|3}}voir aussi le paragraphe [[w:Enveloppe_(géométrie)#Enveloppe_d'une_famille_de_surfaces|enveloppe d'une famille de surfaces]] de l'article de wikipédia [[w:Enveloppe_(géométrie)|enveloppe (géométrie)]].</ref> de toutes les surfaces d'onde<ref name="surface d'onde" /> secondaires émises par les sources ponctuelles secondaires <math>\;M_S</math>.

[[File:Hypothèse Huygens - ondes sphériques.jpg|thumb|left|400px|<center>Traduction de l'hypothèse de [[w:Christian_Huygens|Huygens]]<ref name="Huygens"> '''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 - 1695)''' mathématicien, astronome et physicien néerlandais à qui on doit, entre autres, quelques techniques de sommation et d'intégration du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], ainsi que la formulation de la [[w:Optique_physique|théorie ondulatoire de la lumière]].</ref> pour des ondes sphériques issues d'une source ponctuelle</center>]]
[[File:Hypothèse Huygens - ondes planes.jpg|thumb|right|500px|<center>Traduction de l'hypothèse de [[w:Christian_Huygens|Huygens]]<ref name="Huygens" /> pour des ondes planes</center>]]
{{Al|5}}Ci-contre deux exemples, le 1<sup>er</sup> à gauche correspondant à des ondes sphériques issues d'une source ponctuelle <math>\;S\;</math> à distance finie, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre deux exemples, }}le 2<sup>ème</sup> à droite correspondant à des ondes planes pouvant être considérées comme issues d'une source ponctuelle <math>\;S\;</math> située à l'infini.

{{Al|5}}<u>Explication de l'utilisation de l'hypothèse de [[w:Christian_Huygens|Huygens]]</u><ref name="Huygens" /> : 

{{Al|5}}Soit une surface d'onde<ref name="surface d'onde" /> primaire <math>\;\Sigma\;</math> considérée à l'instant <math>\;t\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}la surface d'onde<ref name="surface d'onde" /> primaire correspondante <math>\;\Sigma'\;</math> à l'instant <math>\;t + T</math>, <br>{{Al|5}}on cherche à expliquer l'état vibratoire de l'onde en <math>\;M'\;</math> <math>\big(</math>point générique de la surface d'onde<ref name="surface d'onde" /> primaire <math>\;\Sigma'\big)\;</math> à l'instant <math>\;t + T\;</math> à partir de l'interférence des ondelettes sphériques secondaires issues des sources secondaires <math>\;M_S\;</math> confondues avec <math>\;M\;</math> <math>\big(</math>point générique de la surface d'onde<ref name="surface d'onde" /> primaire <math>\;\Sigma\big)\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ; ces ondelettes secondaires peuvent être séparées en :
* une ondelette sphérique secondaire de centre <math>\;M_S\;</math> qui arrive en <math>\;M'\;</math> dans le « même état vibratoire » <ref> C.-à-d. une même phase.</ref> que celui de sa création en <math>\;M\;</math> car <math>\;MM' = \lambda\;</math><ref> Même état vibratoire avec toutefois une amplitude plus faible à cause de la dispersion spatiale de la puissance dans toutes les directions, l'amplitude d'une onde sphérique <math>\;\searrow\;</math> en <math>\;\dfrac{1}{r}</math>.</ref>,
* des ondelettes sphériques secondaires centrées en <math>\;M_{S'} \in \Sigma\;</math> situés de part et d'autres de <math>\;M_S</math>, <br>{{Transparent|des ondelettes sphériques secondaires centrées en <math>\;\color{transparent}{M_{S'} \in \Sigma}\;</math> }}celles reçues par <math>\;M'\;</math> à l'instant <math>\;t + dt\;</math> étant celles émises par <math>\;M_{S'}\;</math> à l'instant «<math>\;t + dt - \dfrac{M_{S'}M'}{c}\;</math>» ; <br>{{Transparent|des ondelettes sphériques secondaires centrées en <math>\;\color{transparent}{M_{S'} \in \Sigma}\;</math> }}à chaque ondelette centrée en un point particulier <math>\;M_{S'}\;</math> on peut faire correspondre une ondelette centrée en un autre point particulier <math>\;M_{S''}\;</math> situé dans le voisinage de <math>\;M_{S'}\;</math> telle que leur superposition en <math>\;M'\;</math> donne une « interférence destructive » <math>\;\bigg(\!</math>par exemple si <math>\;M_{S'}M' = 1,2\, \lambda\;</math> on choisit <math>\;M_{S''}\;</math> tel que <math>\;M_{S''}M' = 1,7\, \lambda\;</math> et ainsi la différence de marche <math>\;M_{S''}M' - M_{S'}M'\;</math> valant <math>\;0,5\, \lambda\;</math> leurs ondelettes reçues par <math>\;M'\;</math> à l'instant <math>\;t + dt\;</math> sont celles émises par <math>\;M_{S'}\;</math> et <math>\;M_{S''}\;</math> aux instants séparés de <math>\;\dfrac{0,5\, \lambda}{c} = 0,5\;T\;</math> donc en opposition de phase ce qui génère, en <math>\;M'</math>, une interférence destructive à l'instant <math>\;t + dt\;</math> entre ces ondelettes<math>\!\bigg)</math> ; 
<center>ainsi seule l'ondelette de centre <math>\;M_S\;</math> contribue à l'état vibratoire en <math>\;M'</math> <math>\ldots</math></center>
==== Principe de Huygens - Fresnel (1820) (énoncé partiel) ====

{{Al|5}}'''[[w:Augustin_Fresnel|Fresnel]]'''<ref name="Fresnel"> '''[[w:Augustin_Jean_Fresnel|Augustin Jean Fresnel]] (1788 - 1827)''' physicien français à qui on doit principalement l'explication de tous les phénomènes optiques dans le cadre de la [[w:Optique_physique|théorie ondulatoire de la lumière]].</ref> interprète les idées de '''[[w:Christian_Huygens|Huygens]]'''<ref name="Huygens" /> pour expliquer <math>\;\big(</math>et « calculer » <ref> C'est la possibilité de calculer qui est la contribution principale de '''[[w:Augustin_Fresnel|Fresnel]]'''.</ref><math>\big)\;</math> les phénomènes de diffraction, il énonce le principe suivant <ref> L'énoncé ci-après n'est que partiel <math>-</math> exprimé ainsi il ne souligne que l'hypothèse de [[w:Christian_Huygens|Huygens]] <math>-</math> l'énoncé complet <math>\;\big(</math>non fourni car nous n'envisagerons pas le calcul, ceci n'étant pas du niveau de ce chapitre<math>\big)\;</math> précise la façon dont '''[[w:Augustin_Fresnel|Fresnel]]''' calcule l'amplitude de l'onde résultant de l'interférence des ondelettes, ce que ne faisait pas '''[[w:Christian_Huygens|Huygens]]'''.</ref> : 

{{Théorème|titre=Principe de Huygens - Fresnel (énoncé partiel)|contenu={{Al|5}}Tout point <math>\;P\;</math> atteint par la lumière issue d'une source primaire peut être considéré comme une source secondaire <math>\;P_S\;</math> émettant une onde sphérique, l'état vibratoire de cette source secondaire <math>\;P_S\;</math> étant <math>\;\propto\;</math> à celui de l'onde incidente arrivant en <math>\;P</math> ; <br>{{Al|5}}on peut obtenir l'état vibratoire de tout point <math>\;M\;</math> atteint postérieurement à <math>\;P\;</math> par la lumière issue de la source primaire, en étudiant l'interférence des ondelettes issues de toutes les sources secondaires <math>\;P_S</math>.}}
==== Contribution de Fraunhofer ====

{{Al|5}}Alors que le principe de [[w:Christian_Huygens|Huygens]]-[[w:Augustin_Fresnel|Fresnel]]<ref name="Huygens" />{{,}}<ref name="Fresnel" /> est « applicable » pour calculer la diffraction à distance « quelconque » <ref> Avec toutefois une restriction, cette distance devant être supérieure à <math>\;100\, \lambda</math>, ce qui donne pour <math>\;\lambda = 633\, nm</math>, une distance minimale de <math>\;100\, \mu m = 0,1\, mm</math> ; <br>{{Al|3}}en effet si <math>\;M\;</math> est trop proche de la [[w:Pupille_(optique)|pupille]] diffractante <math>\;\big(</math>c.-à-d. la surface limitée par le diaphragme créant le phénomène de diffraction<math>\big)</math>, la variation de l'amplitude des ondelettes issues des sources secondaires situées sur la [[w:Pupille_(optique)|pupille]] est trop importante <math>\;\bigg(\!</math>variation en <math>\;\dfrac{1}{r}\;</math> avec <math>\;r\;</math> petit<math>\bigg)\;</math> pour que leurs interférences donnent une amplitude résultante en accord avec l'observation, le principe de [[w:Christian_Huygens|Huygens]]-[[w:Augustin_Fresnel|Fresnel]] étant alors inapplicable.</ref> de la « [[w:Pupille_(optique)|pupille]] » <ref name="pupille"> Une [[w:Pupille_(optique)|pupille]] est une ouverture transparente d'une surface opaque, en général plane, ouverture dont le contour fermé limite l'expansion spatiale de l'onde la traversant.</ref> cause de la diffraction, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Alors que }}'''[[w:Joseph_von_Fraunhofer|Fraunhofer]]'''<ref name="Fraunhofer"> '''[[w:Joseph_von_Fraunhofer|Joseph von Fraunhofer]] (1787 - 1826)''' opticien et physicien allemand à qui on doit, en plus de l'étude systématique de la diffraction de la lumière par les [[w:Réseau_de_diffraction|réseaux]] <math>\;\big(</math>surfaces planes constituées d'une juxtaposition d'un grand nombre de fentes étroites et <math>\;\parallel\;\big)</math>, l'invention du [[w:Spectroscope|spectroscope]] avec lequel il précisa les raies d'absorption du spectre solaire <math>\;\big(</math>qui portent son nom<math>\big)</math>.</ref> énonce le principe en considérant le point <math>\;M\;</math> d'observation de la diffraction, à l'« infini de la [[w:Pupille_(optique)|pupille]]<ref name="pupille" /> diffractante » <ref> Plus exactement la distance <math>\;PM\;</math> doit respecter «<math>\;PM > 100\, \dfrac{a^2}{\lambda}\;</math>» ce qui donne, pour <math>\;a = 0,1\, mm\;</math> et <math>\;\lambda = 633\, nm</math>, une distance minimale de <math>\;1,6\, m</math>, l'infini commençant donc pour les données de cette expérience à <math>\;1,6\, m</math>.</ref> ce qui « simplifie notablement les calculs » <ref> En effet on peut alors considérer que la source secondaire <math>\;P_S\;</math> émet une onde plane.</ref>.

==== Tentative d'explication du phénomène de diffraction à l'infini d'une onde plane par une fente infiniment longue ====

<div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="400px">
Diffraction - fente - ondelettes.jpg|Tentative d'explication de diffraction à l'infini d'une onde plane par une fente infiniment longue en utilisant les ondelettes secondaires de [[w:Christian_Huygens|Huygens]]<ref name="Huygens" />
</gallery></div>
{{Al|5}}Considérant une fente infiniment longue de largeur <math>\;a\;</math> éclairée par une <u>onde plane</u> dont la « direction de propagation lui est <math>\;\perp\;</math>» <ref> On dit qu'elle est éclairée « sous incidence normale ».</ref> on observe, au-delà de la fente, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant une fente infiniment longue de largeur <math>\;\color{transparent}{a}\;</math> éclairée par }}une <u>onde quasi plane</u> très légèrement déformée sur les bords si «<math>\;a \gg 100\, \lambda\;</math>» <math>\;\big\{</math>en effet, à l'exception des bords, tout se passe comme s'il n'y avait pas de limitation d'expansion de l'onde d'où la transmission, au-delà de la fente, du caractère plan <math>\;\big(</math>on peut alors refaire l'explication donnée dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Hypothèse_de_Huygens_(1678)|hypothèse de Huygens (1678)]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;</math> mais, sur les bords, en <math>\;M'\;</math> par exemple sur la figure ci-dessus, il y a une dissymétrie de répartition des sources secondaires relativement à <math>\;H\;</math> projeté orthogonal de <math>\;M'\;</math> sur le plan de la fente<ref> D'après le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Hypothèse_de_Huygens_(1678)|hypothèse de Huygens (1678)]] » plus haut dans le chapitre, aux sources secondaires du plan de la figure situées sur la fente à droite de <math>\;H</math> <math>\;\big(</math>la source secondaire du plan de la figure située sur le bord gauche de la fente sera appelée <math>\;H_g\big)</math>, il n'existe pas de source secondaire du même plan de figure située sur la fente à gauche de <math>\;H\;</math> <math>\big(</math>plus précisément à gauche de <math>\;H_g\big)</math>, ceci expliquant la dissymétrie de répartition des sources secondaires relativement à <math>\;H\;</math> <math>\big(</math>plus précisément <math>\;H_g\big)</math>.</ref> d'où une « déformation de la surface d'onde<ref name="surface d'onde" /> en <math>\;M'\;</math>»<ref> Reprenant les commentaire et notation introduit(s) dans la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#cite_note-65|<sup>65</sup>]] » plus haut dans ce paragraphe, nous observons que <br>{{Al|3}}l'ondelette issue de <math>\;H_g\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se retrouve en <math>\;M'\;</math> avec la même phase à l'instant <math>\;t + T</math>, cette ondelette se superposant, en <math>\;M'\;</math> à l'instant <math>\;t + T</math>, aux <br>{{Al|3}}ondelettes issues des sources secondaires <math>\;M_{S}\;</math> du plan de la figure situées sur la fente à droite de <math>\;H_g\;</math> émises à l'instant <math>\;t + T - \dfrac{M_{S}M'}{c}</math>, <br>{{Al|3}}ces dernières interférant de façon destructive dans la mesure où <math>\;M_{S_2}M' - M_{S_1}M' = \dfrac{\lambda}{2}</math> <math>\big\{</math>à toute source secondaire <math>\;S_1\;</math> située à droite de <math>\;H_g\;</math> on peut trouver une source secondaire <math>\;S_2\;</math> plus éloignée de <math>\;H_g\;</math> telle que la superposition des ondelettes issues de ces sources engendre une interférence destructive en <math>\;M'\;</math> à l'instant <math>\;t + T\;</math> sauf quand <math>\;S_1\;</math> est proche de <math>\;H_d\;</math> la source secondaire du plan de la figure située sur le bord droit de la fente mais l'amplitude des ondelettes sphériques variant comme l'inverse de la distance <math>\;M_{S_1}M'\;</math> et celle-ci, pour <math>\;S_1\;</math> proche de <math>\;H_d</math>, étant <math>\;\simeq H_dM' \gg H_gM'</math>, l'amplitude des ondelettes sphériques issues des sources secondaires proches de <math>\;H_d\;</math> étant donc petite, leur influence sur l'état de vibration en <math>\;M'\;</math> peut être négligée<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}en conclusion l'onde créée en <math>\;M'\;</math> à l'instant <math>\;t + T\;</math> par superposition des ondelettes sphériques issues des sources secondaires du plan de la figure situées sur la fente est localement sphérique <br>{{Al|3}}{{Transparent|en conclusion }}et si on considère toutes les sources secondaires situées sur la fente et dans un plan <math>\;\parallel\;</math> au plan de la figure, on trouve que l'onde créée en <math>\;M'\;</math> à l'instant <math>\;t + T\;</math> est localement cylindrique d'axe <math>\;\parallel\;</math> à la direction longitudinale de la fente.</ref> et par suite de la « direction de propagation » <ref> On rappelle que la direction de propagation est <math>\;\perp\;</math> à la surface d'onde.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant une fente infiniment longue de largeur <math>\;\color{transparent}{a}\;</math> éclairée par }}si «<math>\;a \lesssim 100\, \lambda\;</math>», la partie « onde quasi plane » de la surface d'onde<ref name="surface d'onde" /> s'amenuise d'autant plus que <math>\;a\;</math> est petit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant une fente infiniment longue de largeur <math>\;\color{transparent}{a}\;</math> éclairée par si «<math>\;\color{transparent}{a \lesssim 100\, \lambda}\;</math>», }}ce qui rend la diffraction d'autant plus observable <math>\ldots</math>

=== Diffraction sur un obstacle ===

{{Al|5}}La diffraction est observable lorsque la lumière est limitée par une [[w:Pupille_(optique)|pupille]]<ref name="pupille" /> mais aussi lorsqu'elle rencontre un obstacle, par exemple <br>{{Al|5}}{{Transparent|La diffraction est observable }}lors de la diffraction à l'infini d'une onde plane lumineuse par un cheveu <math>\;\big(</math>ou un objet opaque de diamètre <math>\;a \lesssim 100\, \lambda\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La diffraction est observable }}on observe <math>-</math> à la place de l'ombre projetée du cheveu <math>-</math> des franges lumineuses et obscures de diffraction qui peuvent être justifiées en faisant intervenir l'interférence des ondelettes issues des sources secondaires centrées en tout point, hors cheveu, du plan d'onde contenant ce dernier <math>\ldots</math>

== Choix de la taille de l'ouverture relativement à la longueur d'onde pour observer le phénomène de diffraction en optique ou en mécanique, exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young ==

=== Rappel du résultat ===

{{Proposition|titre= À retenir| contenu ={{Al|5}}De façon à ce que le phénomène de diffraction soit observable, il convient de choisir <center>la taille de l'ouverture telle qu'elle ne soit pas grande devant la longueur d'onde, c.-à-d. au plus égale à <math>\;100\, \lambda\;</math> <br>soit la largeur de la fente ou le diamètre du diaphragme «<math>\; a \lesssim 100\, \lambda\;</math>».</center>}}
=== Notion de sources cohérentes ===

{{Al|5}}Pour observer un phénomène d'interférences entre deux ondes, il faut que ces dernières soient synchrones<ref name="synchrones"> C.-à-d. de même fréquence.</ref> et « en phase lors de leur émission par les sources les ayant créées » <ref name="sources cohérentes"> Ou avec un déphasage de leur source constant.</ref> ; 
<br>{{Al|5}}si on fait se croiser deux faisceaux laser émettant la même longueur d'onde dans le vide, les ondes sont effectivement synchrones<ref name="synchrones" /> mais « les sources ne sont pas en phase » <ref name="sources cohérentes" />{{,}}<ref> Chaque faisceau laser est une suite de train d'ondes <math>\;\big(</math>un train d'ondes étant de durée limitée et par conséquent d'expansion spatiale limitée<math>\big)</math>, chaque train n'ayant aucune relation de déphasage avec le suivant <math>\;\big(</math>ou le précédent<math>\big)\;</math> et ayant une longueur dans le vide de l'ordre de <math>\;30\, cm\;</math> <math>\big(</math>correspondant à une durée d'émission sans déphasage de l'ordre de <math>\;1\, ns\big)</math> ; <br>{{Al|3}}deux faisceaux laser de même longueur d'onde dans le vide n'auront donc un déphasage fixé <math>-</math> mais non connu <math>-</math> que pendant une durée très limitée <math>\;\leqslant 1\, ns</math>, cette durée est alors beaucoup trop faible pour une observation d'interférences à l'échelle macroscopique <math>\;\big(</math>en effet une durée d'échelle macroscopique est <math>\;\gtrsim 1\, s</math>, et pour observer des interférences il faudrait au moins <math>\;\gtrsim 10\, s\big)</math>.</ref> et on n'observe pas d'interférences, les ondes émises sont dites « <u>incohérentes</u> » <ref name="ondes incohérentes"> Ce qui signifie qu'elles ont « un déphasage aléatoire à l'échelle macroscopique » <math>\;\big(</math>c.-à-d. que leur déphasage change de façon aléatoire sur une durée <math>\;\lesssim 1\, s\big)</math>.</ref> ; 
<br>{{Al|5}}pour obtenir des ondes « <u>cohérentes</u> »<ref name="ondes cohérentes"> C.-à-d. des ondes avec « un déphasage constant à l'échelle macroscopique » <math>\;\big(</math>plus précisément restant constant sur une durée <math>\;\gtrsim 10\, s\big)</math>.</ref>, il suffit qu'elles proviennent d'une même source avec une séparation du faisceau issu de la source en deux faisceaux à déphasage indépendant du temps comme lors de l'observation d'interférences par séparation d'un faisceau laser par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young"> '''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module d'Young]] en [[w:Science_des_matériaux|science des matériaux]] et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]] en optique.</ref> <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Exemple_de_l'interférence_lumineuse_d'une_onde_monochromatique_séparée_par_fentes_d'Young|exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.

=== Exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young ===

[[File:Fentes Young - dispositif.jpg|thumb|600px|<center>Description du dispositif d'interférences par les [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /></center>]]

{{Al|5}}On obtient une onde « plane » monochromatique à l'aide d'un faisceau laser « hélium-néon » <ref> De longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0 = 633\, nm</math>.</ref>{{,}}<ref name="onde émise par laser"> En fait l'onde émise par un faisceau laser n'est pas rigoureusement plane puisque le faisceau a une expansion spatiale limitée dans sa section <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Divergence_d'un_faisceau_laser|divergence d'un faisceau laser]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}et on réalise sa séparation en deux faisceaux synchrones<ref name="synchrones" /> et « cohérents »<ref name="ondes cohérentes" />, divergeant par phénomène de diffraction, à partir de chacune des deux [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> que le faisceau laser incident éclaire <math>\;\big(</math>voir la figure ci-contre<math>\big)</math> ;

{{Al|5}}pour chaque fente de largeur <math>\;d</math>, la demi-largeur angulaire de la « tache centrale de {{Nobr|diffraction » <ref name="tache centrale de diffraction"> Plus exactement de l'expansion spatiale aboutissant à la tache centrale de diffraction sur l'écran ci-après.</ref>}} vaut «<math>\;\theta_1 = \arcsin\! \left( \dfrac{\lambda_0}{d} \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>en rappelant que la diffraction par une fente infiniment longue se fait uniquement dans le plan <math>\;\perp\;</math> à la longueur de la fente <math>\Rightarrow</math> la « tache centrale de diffraction » <ref name="tache centrale de diffraction" /> s'étale seulement sur la partie de l'écran située dans le plan de la figure ci-contre<math>\big\}</math> ; 
<br>{{Al|5}}il y a donc un champ d'interférences « intersection des deux taches centrales de diffraction »<ref name="tache centrale de diffraction" /> mais pour que les « franges » <ref name="franges"> En fait l'utilisation du terme « frange » est un abus compte-tenu du fait que la diffraction par une fente infiniment longue se fait uniquement dans le plan <math>\;\perp\;</math> à la longueur de la fente, ces « franges » se réduisant à des taches dans la partie de l'écran située dans le plan de la figure.</ref> d'interférences soient observables sur un écran, ce dernier doit être situé {{Nobr|au-delà}} du point <math>\;A\;</math> <math>\big(</math>voir figure ci-dessus<math>\big)\;</math> défini par <math>\;\tan(\theta_1) = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{O'A}\;</math> d'où la distance <math>\;D\;</math> entre l'écran et le plan des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> «<math>\;D > O'A = \dfrac{a}{2\, \tan(\theta_1)}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>avec <math>\;d = 0,05\, mm</math>, la demi-largeur angulaire de la « tache centrale de diffraction »<ref name="tache centrale de diffraction" /> vaut «<math>\;\theta_1 = \arcsin\! \left( \dfrac{633\; 10^{-9}}{0,05\; 10^{-3}} \right) \simeq</math> <math>0,0127\; rad</math> <math>\simeq 0\text{°}\, 43'\;</math>»<ref name="conversion rad - degrés et minutes"> En effet <math>\;1\;rad = \dfrac{180\;\text{°}}{\pi} = \dfrac{(180 \times 60)\;'}{\pi}\;</math> d'où la conversion.</ref> et, en prenant <math>\;a = 0,5\, mm\;</math><ref> On prend cette valeur réduite pour que les deux fentes soient recouvertes avec un faisceau laser non élargi.</ref>, la distance à partir de laquelle on peut observer des interférences est «<math>\;D_{\text{min}} =</math> <math>\dfrac{0,5\; 10^{-3}}{2 \times \tan(0,0127)} \simeq 0,020\; m\;</math>»<math>\bigg\}</math> ;

{{Al|5}}on prend alors «<math>\;D = 2,000\; m\;</math>» et la largeur <math>\;L\;</math> du champ d'interférences sur l'écran vaut «<math>\;L = 2\, \left[ D\, \tan(\theta_1) - \dfrac{a}{2} \right] = 2\, D\, \tan(\theta_1) - a\;</math>» donnant numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|on prend alors «<math>\;\color{transparent}{D = 2,000\; m}\;</math>» et la largeur <math>\;\color{transparent}{L}\;</math> du champ d'interférences sur l'écran vaut }}«<math>\;L = 2 \times 2,000 \times \tan(0,0127) - 0,5\; 10^{-3}\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit finalement «<math>\;L \simeq 5,0\; cm\;</math>» ;

{{Al|5}}{{Transparent|on prend alors «<math>\;\color{transparent}{D = 2,000\; m}\;</math>» }}d'autre part nous avons déterminé, dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence#Échelle_de_longueur_du_phénomène_d'interférences_dans_le_plan_d'observation,_notion_d'interfrange|échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation, notion d'interfrange]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » traitant des interférences acoustiques et mécaniques mais dont les résultats se prolongent en optique, l'interfrange<ref name="interfrange"> C.-à-d. la distance séparant des positions successives de même état d'interférence.</ref> «<math>\;\mathit{i} = \dfrac{\lambda_0\, D}{a} = \dfrac{633\; 10^{-9} \times 2,000}{0,5\; 10^{-3}} \simeq</math> <math>2,5\; 10^{-3}\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;\mathit{i} \simeq 2,5\; mm\;</math>» et nous en déduisons le nombre d'interfranges dans le champ d'interférences sur l'écran «<math>\;N = \dfrac{L}{\mathit{i}} = 20\;</math>»<ref> Divisant <math>\;\dfrac{L}{2}\;</math> par <math>\;\mathit{i}\;</math> on trouve <math>\;10</math> ; <br>{{Al|3}}compte-tenu du fait que la « frange » centrale est brillante, il y a donc <math>\;10\;</math> « franges » brillantes de part et d'autre de la « frange » centrale soit au total <math>\;21\;</math> franges brillantes et <math>\;20\;</math> franges sombres, mais comme on le constate sur la courbe d'amplitude plus bas dans ce paragraphe, <br>{{Al|3}}les franges d'ordre <math>\;10\;</math> et <math>\;-10\;</math> ont une amplitude maximale trop faible pour être observable <math>-</math> <math>\;\big(</math>et même celles d'ordre <math>\;9\;</math> et <math>\;-9\big)\;</math> <math>-</math> d'où simplement <math>\;19\;</math> <math>\big(</math>ou même <math>\;17\big)\;</math> franges brillantes pour <math>\;18\;</math> <math>\big(</math>ou même <math>\;16\big)\;</math> franges sombres ; <br>{{Al|3}}sur la courbe d'amplitude plus bas de ce paragraphe figurent également les franges brillantes des 1<sup>ères</sup> taches de diffraction secondaires <math>\;\big(</math>mais celles-ci sont peu brillantes et donc pratiquement non observables<math>\big)</math>.</ref> ; 
<center>ci-dessous le « diagramme de variation de l'amplitude <math>\;\mathcal{A}(\theta)\;</math>»<ref> «<math>\;\mathcal{A}(\theta) = 2\, A_0\; \left\vert \mathrm{sinc}\! \left[ \dfrac{\pi\, \sin(\theta)\, d}{\lambda_0} \right] \right\vert\; \left\vert \cos\! \left[ \dfrac{\pi\, \sin(\theta)\, a}{\lambda_0} \right] \right\vert\;</math>» dans laquelle «<math>\;2\, A_0 \left\vert \cos\! \left[ \dfrac{\pi\, \sin(\theta)\, a}{\lambda_0} \right] \right\vert\;</math> est le facteur d'interférences » <math>\;\bigg\{</math>voir le paragraphe donnant l'amplitude de l'onde résultant de l'interférence de deux ondes primitives dans le « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence#Cas_où_les_sources_synchrones_et_en_phase_émettent_des_signaux_de_même_amplitude|cas où les sources synchrones et en phase émettent des signaux de même amplitude]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » soit «<math>\;A_{\text{tot}}</math> <math>= A_0\, \sqrt{2}\, \sqrt{1 + \cos(\varphi_2 - \varphi_1)} = 2\, A_0\, \left\vert \cos\! \left( \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right) \right\vert\;</math>» avec le « déphasage <math>\;\varphi_2 - \varphi_1\;</math>» lié à la « différence de marche <math>\;\delta = d_2 - d_1\;</math> avec <math>\;d_2 = S_2M\;</math> et <math>\;d_1 = S_1M\;</math>» par «<math>\;\varphi_2 - \varphi_1 =</math> <math>-\dfrac{2\, \pi}{\lambda_0}\, (d_2 - d_1)\;</math>» voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence#Notion_de_différence_de_marche_et_d'ordre_d'interférences|notion de différence de marche et d'ordre d'interférences]] » du même chap.<math>5</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » ainsi que le « calcul de la différence de marche <math>\;\delta = a\;\sin(\theta)\;</math>» voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence#Échelle_angulaire_du_phénomène_d'interférences,_lien_avec_l'échelle_de_longueur_du_phénomène_d'interférences_dans_le_plan_d'observation|échelle angulaire du phénomène d'interférences, lien avec l'échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation]] » du même chap.<math>5</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\bigg\}</math>.</ref> en fonction de l'angle <math>\;\theta\;</math> d'observation des interférences.</center>
[[File:Fentes Young - amplitude.png|thumb|center|600px|<center>Diagramme d'amplitude des interférences par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> modulées par <br>la courbe d'amplitude de diffraction</center>]] 

== Conséquences de la diffraction sur la focalisation et sur la propagation d'un faisceau laser ==

=== Divergence d'un faisceau laser ===

[[File:Laser - divergence.jpg|thumb|400px|<center>Schéma de divergence d'un faisceau laser</center>]]

{{Al|5}}Un faisceau laser n'est pas rigoureusement <math>\;\parallel</math>, cela résulte de son expansion transversale finie, par exemple <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un faisceau laser n'est pas rigoureusement <math>\;\color{transparent}{\parallel}</math>, }}pour la longueur d'onde dans le vide du laser hélium-néon <math>\;\lambda_0 = 633\; nm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un faisceau laser n'est pas rigoureusement <math>\;\color{transparent}{\parallel}</math>, pour }}un diamètre de sortie <math>\;a = 0,5\; mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un faisceau laser n'est pas rigoureusement <math>\;\color{transparent}{\parallel}</math>, }}le rayon angulaire ou « demi-angle d'ouverture » <ref> Correspondant au domaine de diffraction central <math>\;\big(</math>c.-à-d. celui qui donnerait la tache centrale sur un écran <math>\;\perp\;</math> à la direction principale<math>\big)</math>.</ref> vaut «<math>\;\theta_1 = \arcsin\! \left( 1,22\; \dfrac{\lambda_0}{a} \right)</math> <math>= \arcsin\! \left( 1,22 \times \dfrac{633\; 10^{-9}}{0,5\; 10^{-3}} \right)</math> <math>\simeq 1,55\; 10^{-3}\; rad \simeq 5,4'\;</math>»<ref name="conversion rad - degrés et minutes" /> ;

{{Al|5}}{{Transparent|Un faisceau laser n'est pas rigoureusement <math>\;\color{transparent}{\parallel}</math>, }}plaçant un écran à une distance <math>\;D = 5\; m\;</math> on observe une « tache de diamètre <math>\;d \simeq 2 \left( D\; \theta_1 \right) \simeq 2 \times \left( 5 \times 1,55\; 10^{-3} \right) \simeq 15,5\; mm = 1,55\; cm\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un faisceau laser n'est pas rigoureusement <math>\;\color{transparent}{\parallel}</math>, plaçant un écran à une distance <math>\;\color{transparent}{D = 5\; m}\;</math> }}c.-à-d. un élargissement « non négligeable » <ref> Cela fait en effet un facteur multiplicatif de <math>\;31\;</math> ou une augmentation de <math>\;3000\; \%\;</math> à une distance de <math>\;5\; m</math> ; cela reste néanmoins très faible comparativement aux autres sources.</ref> du diamètre du faisceau à grande distance de la source.

=== Focalisation d'un faisceau laser ===

[[File:Laser - focalisation.jpg|thumb|500px|<center>Schéma de focalisation d'un faisceau laser à travers un objectif de microscope</center>]]

{{Al|5}}La diffraction se manifeste aussi quand on cherche à focaliser un faisceau laser à l'aide d'un objectif de microscope de « distance focale <math>\;\mathit{f}_{\mathit{i}}\;</math>»<ref name="distance focale image"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Foyer_principal_objet,_foyer_principal_image|foyer principal objet, foyer principal image]] (d'une lentille mince) » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » définissant <u>le foyer</u><math>\;\big(</math><u>principal</u><math>\big)\;</math><u>image</u> des lentilles minces comme <u>le point de convergence du faisceau émergent provenant d'un faisceau incident</u> <math>\;\parallel</math> <math>\;\big(</math>à l'axe principal optique de la lentille<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Distance_focale_et_vergence_d'une_lentille_mince|distance focale et vergence d'une lentille mince]] » du même chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » définissant la notion de <u>distance focale</u><math>\;\big(</math><u>image</u><math>\big)\;</math> comme <u>la distance séparant le foyer</u><math>\;\big(</math><u>principal</u><math>\big)\;</math><u>image du centre</u><math>\;\big(</math><u>optique</u><math>\big)\;</math><u>de la lentille</u> <math>\;\big\{</math>les termes entre parenthèses sont nécessaires pour une définition correcte mais peuvent être supprimés en 1<sup>ère</sup> {{Nobr|lecture<math>\big\}</math>.}}</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La diffraction se manifeste }}la dimension transversale du faisceau ne s'annule pas <math>\;\big\{</math>contrairement à ce qu'exigerait une focalisation parfaite résultant de la 1<sup>ère</sup> loi de l'optique géométrique<ref name="propagation rectiligne de la lumière en optique géométrique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_sources_lumineuses,_milieu_transparent,_approximation_de_l'optique_géométrique#Première_loi_:_propagation_rectiligne_de_la_lumière|1<sup>ère</sup> loi : propagation rectiligne de la lumière]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref><math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La diffraction se manifeste }}elle passe simplement par une valeur minimale «<math>\;a_{\text{min}}\;</math>» que l'on détermine également par la relation «<math>\;\sin(\theta) = 1,22\; \dfrac{\lambda_0}{a_{\text{min}}}\;</math>» où «<math>\;\theta\;</math> est le demi-angle d'ouverture du faisceau convergent imposé par l'objectif de microscope » et «<math>\;a_{\text{min}}\;</math> la valeur minimale du diamètre du faisceau à l'endroit de la convergence » soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La diffraction se manifeste elle passe simplement par une valeur minimale }}«<math>\;a_{\text{min}} = 1,22\; \dfrac{\lambda_0}{\sin(\theta)}\;</math>» ; 

{{Al|5}}{{Transparent|La diffraction se manifeste }}avec la relation déterminant le demi-angle d'ouverture <math>\;\theta\;</math> à partir de la distance focale de l'objectif de microscope<ref name="distance focale image" /> et du diamètre <math>\;a\;</math> du faisceau incident «<math>\;\tan(\theta) = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{\mathit{f}_{\mathit{i}}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La diffraction se manifeste }}sachant que l'angle <math>\;\theta\;</math> est petit ce qui permet l'approximation «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\theta) \simeq \theta \\ \sin(\theta) \simeq \theta \end{array} \right\rbrace\;</math> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et par suite de « confondre <math>\;\tan(\theta)\;</math> avec <math>\;\sin(\theta)\;</math> au même ordre un en <math>\;\theta\;</math>», d'où «<math>\;\sin(\theta) \simeq \dfrac{a}{2\, \mathit{f}_{\mathit{i}}}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|La diffraction se manifeste }}finalement « la valeur minimale du diamètre du faisceau à l'endroit de la convergence s'évalue par <math>\;a_{\text{min}} \simeq 1,22\; \dfrac{2\; \lambda_0\; \mathit{f}_{\mathit{i}}}{a}\;</math>» ;

{{Al|5}}{{Transparent|La diffraction se manifeste }}si «<math>\;\mathit{f}_{\mathit{i}} = 10\; cm\;</math> avec <math>\;a = 0,50\; mm\;</math> et <math>\;\lambda_0 = 633\; nm\;</math>» on trouve «<math>\;a_{\text{min}} \simeq 1,22 \times \dfrac{2 \times 633\; 10^{-9} \times 0,1}{0,50\; 10^{-3}} \simeq 0,30\; 10^{-3}\; m = 0,30\; mm\;</math>»<ref> Ce qui correspond à un rétrécissement de <math>\;0,20\; mm\;</math> sur <math>\;0,50\; mm\;</math> soit un « facteur de rétrécissement de <math>\;40\; \%\;</math>», ce qui est néanmoins suffisant pour affirmer que la convergence n'est pas ponctuelle.</ref>.

== Notes et références ==

<references/>

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